3. On s’intéresse aux sommets du graphe des liaisons pour
expliciter les invariants géométriques :
• sur la bâti 1 sont définies deux demi-droites sécantes au
point A et perpendiculaires. Le point A se trouve sur cet
ensemble.
• le piston 3 comporte deux droites sécantes au point B et
perpendiculaires. Le point B qui mérite attention est sur ce
solide.
• l’arbre moteur 2 comporte une demi-droite et une droite
parallèles, distantes de l’excentration e.
• le patin 4 comporte une demi-droite et une droite parallèles,
distantes de la longueur L.
On déduit de cette analyse que le vecteur
− →
AB est un vecteur
position du point B dans le mouvement 3/1 :
• on peut l’expliciter à partir de la chaîne ouverte 1 − 2 − 3 ;
− →
AB = e z 2 + λ 32
y 3
• on peut l’expliciter également à partir de la chaîne
1 − 4 − 3.
− →
AB = L
y 4 + λ 34 z 3
4. Pour écrire les torseurs cinématiques, on exploite les deux
angles paramétrés et on complète en posant des inconnues
cinématiques sans chercher à définir les paramètres géométriques correspondants. Néanmoins, on constate que les deux
liaisons pivot glissant imposent l’une
y 2 = =
y 3 , l’autre
z 3 = = z 4 , et ce à chaque instant.
V(2/1) = A
˙
α
y 1
0
V(4/1) = A
˙
θ z 1
0
V(3/2) = B
ω 32
y 3
v 32
y 3
V(4/3) = B
ω 43 z 3
v 43 z 3
On peut alors calculer les deux produits vectoriels en évitant
les deux longueurs variables λ 34 et λ 32 :
˙
α
y 1 ∧
− →
AB = ˙
αe
x 2
− ˙
θ z 1 ∧
− →
AB = ˙
θ L
x 4
On obtient alors le système de six équations ci-dessous en
exprimant tous les vecteurs dans la base ( x 1 ,
y 1 , z 1 ) :
0
= 0
ω 32 + ˙
α
= 0
ω 43 − ˙
θ
= 0
˙
αe cos α + ˙
θ L cos θ = 0
v 32 + ˙
θ L sin α
= 0
v 43 − ˙
αe sin α
= 0
On peut augmenter la lisibilité de ces équations en adoptant
une écriture matricielle
0
0
0 0 0 0
1
0
1 0 0 0
0
−1
0 0 1 0
e cos α
L cos θ 0 0 0 0
0
L sin θ 0 1 0 0
−e sin α
0
0 0 0 1
˙
α
˙
θ
ω 32
v 32
ω 43
v 43
=
0
0
0
0
0
0
Deux constatations s’imposent :
• la première ligne de la matrice ne comporte que des termes
nuls, le rang de ce système d’équations est donc inférieur ou
égal à cinq ;
• en enlevant la première ligne et la première colonne, le
déterminant extrait n’est pas nul.
0
1 0 0 0
−1
0 0 1 0
L cos θ 0 0 0 0
L sin θ 0 1 0 0
0
0 0 0 1
= ±L cos θ
Si cos θ = 0, le rang r c du système vaut cinq, il est possible
de calculer les degrés de mobilité m = I c − r c et de statisme
h = E c − r c de cette structure
m = 1
h = 1
Il n’y a qu’un seul mouvement possible et la structure est
hyperstatique d’ordre 1.
6. La loi entrée sortie est donnée sous forme différentielle par
la quatrième équation
L ˙
θ cos θ = −e ˙
α cos α
Cette forme est intégrable et on peut poser les conditions initiales nulles
sin θ = −
e
L
sin α
Étant donné que sur le mécanisme e L, l’angle θ ne peut
pas prendre la valeur ±
π
2
et l’hypothèse faite pour le calcul
du rang est justifiée.
37
y 2 = y 1
z 1
x 1
z 2
x 2
z 4 = z 1
x 1
y 1
x 4
y 4
α
θ
5. L’équation de fermeture cinématique s’écrit
V(4/3) + V(3/2) + V(2/1) − V(4/1) = 0
Pour calculer les degrés de mobilité et de statisme, il est
nécessaire d’écrire les six équations scalaires. On choisit
d’écrire l’équation de moment au point B et on obtient
ω 43 z 3 + ω 32
y 3 + ˙
α
y 1 − ˙
θ z 1
=
0
v 43 z 3 + v 32
y 3 + ˙
α
y 1 ∧
− →
AB − ˙
θ z 1 ∧
− →
AB =
0
On reprend les deux descriptions possibles pour le vecteur
− →
AB en tenant compte des égalités observées à chaque instant
− →
AB = L
y 4 + λ 34 z 1
− →
AB = e z 2 + λ 32
y 1
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expliciter les invariants géométriques :
• sur la bâti 1 sont définies deux demi-droites sécantes au
point A et perpendiculaires. Le point A se trouve sur cet
ensemble.
• le piston 3 comporte deux droites sécantes au point B et
perpendiculaires. Le point B qui mérite attention est sur ce
solide.
• l’arbre moteur 2 comporte une demi-droite et une droite
parallèles, distantes de l’excentration e.
• le patin 4 comporte une demi-droite et une droite parallèles,
distantes de la longueur L.
On déduit de cette analyse que le vecteur
− →
AB est un vecteur
position du point B dans le mouvement 3/1 :
• on peut l’expliciter à partir de la chaîne ouverte 1 − 2 − 3 ;
− →
AB = e z 2 + λ 32
y 3
• on peut l’expliciter également à partir de la chaîne
1 − 4 − 3.
− →
AB = L
y 4 + λ 34 z 3
4. Pour écrire les torseurs cinématiques, on exploite les deux
angles paramétrés et on complète en posant des inconnues
cinématiques sans chercher à définir les paramètres géométriques correspondants. Néanmoins, on constate que les deux
liaisons pivot glissant imposent l’une
y 2 = =
y 3 , l’autre
z 3 = = z 4 , et ce à chaque instant.
V(2/1) = A
˙
α
y 1
0
V(4/1) = A
˙
θ z 1
0
V(3/2) = B
ω 32
y 3
v 32
y 3
V(4/3) = B
ω 43 z 3
v 43 z 3
On peut alors calculer les deux produits vectoriels en évitant
les deux longueurs variables λ 34 et λ 32 :
˙
α
y 1 ∧
− →
AB = ˙
αe
x 2
− ˙
θ z 1 ∧
− →
AB = ˙
θ L
x 4
On obtient alors le système de six équations ci-dessous en
exprimant tous les vecteurs dans la base ( x 1 ,
y 1 , z 1 ) :
0
= 0
ω 32 + ˙
α
= 0
ω 43 − ˙
θ
= 0
˙
αe cos α + ˙
θ L cos θ = 0
v 32 + ˙
θ L sin α
= 0
v 43 − ˙
αe sin α
= 0
On peut augmenter la lisibilité de ces équations en adoptant
une écriture matricielle
0
0
0 0 0 0
1
0
1 0 0 0
0
−1
0 0 1 0
e cos α
L cos θ 0 0 0 0
0
L sin θ 0 1 0 0
−e sin α
0
0 0 0 1
˙
α
˙
θ
ω 32
v 32
ω 43
v 43
=
0
0
0
0
0
0
Deux constatations s’imposent :
• la première ligne de la matrice ne comporte que des termes
nuls, le rang de ce système d’équations est donc inférieur ou
égal à cinq ;
• en enlevant la première ligne et la première colonne, le
déterminant extrait n’est pas nul.
0
1 0 0 0
−1
0 0 1 0
L cos θ 0 0 0 0
L sin θ 0 1 0 0
0
0 0 0 1
= ±L cos θ
Si cos θ = 0, le rang r c du système vaut cinq, il est possible
de calculer les degrés de mobilité m = I c − r c et de statisme
h = E c − r c de cette structure
m = 1
h = 1
Il n’y a qu’un seul mouvement possible et la structure est
hyperstatique d’ordre 1.
6. La loi entrée sortie est donnée sous forme différentielle par
la quatrième équation
L ˙
θ cos θ = −e ˙
α cos α
Cette forme est intégrable et on peut poser les conditions initiales nulles
sin θ = −
e
L
sin α
Étant donné que sur le mécanisme e L, l’angle θ ne peut
pas prendre la valeur ±
π
2
et l’hypothèse faite pour le calcul
du rang est justifiée.
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y 2 = y 1
z 1
x 1
z 2
x 2
z 4 = z 1
x 1
y 1
x 4
y 4
α
θ
5. L’équation de fermeture cinématique s’écrit
V(4/3) + V(3/2) + V(2/1) − V(4/1) = 0
Pour calculer les degrés de mobilité et de statisme, il est
nécessaire d’écrire les six équations scalaires. On choisit
d’écrire l’équation de moment au point B et on obtient
ω 43 z 3 + ω 32
y 3 + ˙
α
y 1 − ˙
θ z 1
=
0
v 43 z 3 + v 32
y 3 + ˙
α
y 1 ∧
− →
AB − ˙
θ z 1 ∧
− →
AB =
0
On reprend les deux descriptions possibles pour le vecteur
− →
AB en tenant compte des égalités observées à chaque instant
− →
AB = L
y 4 + λ 34 z 1
− →
AB = e z 2 + λ 32
y 1
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