• équation de résultante scalaire
y 1 .
(2/3). y 1 = 0
On en déduit que la seule composante non nulle du vecteur
rotation
(2/3) est suivant le vecteur z 1 et on pose alors
(2/3) = ˙
δ z 1
• sur le piston 3 est défini un point sur une droite ;
35
z 1
x 3
y 3
x 2
y 2
δ
Le problème admettait à la première analyse six équations
pour six inconnues, il reste après une résolution partielle
quatre équations pour quatre inconnues cinématiques, donc
quatre paramètres géométriques dépendants du temps.
1. La lecture du schéma cinématique permet l’élaboration du
graphe des liaisons correspondant
1.5
1
2
3
4
P ( x 1 )
PG ( x 3 )
S (C )P (x 4 )
P ( z 1 )
P(Dte )
: Pivot d’axe (Dte )
PG(Dte )
: Pivot glissant d’axe (Dte )
S(Pt )P(V ec) : Sphère de centre (Pt )
: Plan de normale (V ec)
Ce graphe comporte une chaîne fermée composée de 4
solides et de 4 liaisons pour un total de 9 degrés de liberté.
Une approche cinématique globale met en évidence un indice de mobilité égal à 3.
I c − Ec = 9 − 6 = 3
2. Comme l’indice de mobilité I c − Ec s’interprète comme
la différence des degrés de mobilité et de statisme m − h, on
peut proposer comme inégalité
m − h = 3
m 0
h 0
⇒
m − h = 3
m 3
h 0
Ce mécanisme admet au moins trois mouvements indépendants, que l’on essaie d’imaginer :
• la rotation du seul piston 3, autour de l’axe (C,
x 3 ), toutes
les autres pièces étant immobiles par rapport au bâti ;
• la rotation du plateau 4 par rapport au bâti 1, entraînant la
translation du piston 3 par rapport au barillet 2 alors que le
barillet reste immobile par rapport au bâti ;
• la transformation du mouvement correspondant à la loi
entrée-sortie, le plateau 4 restant immobile par rapport au
bâti.
On n’imagine pas de contrainte lors de l’assemblage de cette
chaîne fermée, notamment au niveau de la liaison sphèreplan. On peut parier en conséquence sur une structure isostatique.
3. L’analyse des sommets du graphe et les données de l’énoncé permettent de faire émerger les caractéristiques géométriques propres à chacun des solides :
x 3
C
• sur le barillet 2 sont définies une demi-droite et une droite
parallèles ;
x 2
y 2
A
D
R
le rayon R = =
− →
AD est un invariant géométrique explicite
sur le barillet 2.
• sur le bâti sont définies deux demi-droites perpendiculaires
et distantes de R.
x 1
y 1
A
B
R
• sur le plateau sont définies une demi-droite et une direction
perpendiculaires.
Il existe ainsi deux rayons R différents, l’un défini sur le bâti,
l’autre sur le barillet.
4. Pour déterminer la loi entrée-sortie demandée, on écrit les
quatre torseurs pour poser les variables cinématiques
V(2/1) = A
˙
α
x 1
0
V(4/1) = B
˙
θ z 1
0
V(3/2) = C
ω 32
x 3
˙
λ x 3
V(3/4) =
(3/4)
V (C, 3/4), avec
V (C, 3/4). x 4 = 0
x 1 = x 2
y 1
z 1
y 2
z 2
z 1 = z 4
x 1
y 1
x 4
y 4
α
θ
Lors du fonctionnement, l’angle θ ne varie plus une fois réglé,
la variable ˙
θ est donc nulle à chaque instant. Il s’agit alors
d’éviter six inconnues sur les huit qui restent, ce qui est obtenu en écrivant la composition des vecteurs vitesse au point C
scalaire
x 4
˙
α
x 1 ∧
− →
AC
.
x 4 + ˙
λ x 3 . x 4 = 0
Au vu des propriétés géométriques énoncées :
• les vecteurs
x 3 et
x 1 sont à chaque instant égaux ;
˙
λ x 3 . x 4 = ˙
λ x 1 . x 4 = ˙
λ cos θ
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y 1 .
(2/3). y 1 = 0
On en déduit que la seule composante non nulle du vecteur
rotation
(2/3) est suivant le vecteur z 1 et on pose alors
(2/3) = ˙
δ z 1
• sur le piston 3 est défini un point sur une droite ;
35
z 1
x 3
y 3
x 2
y 2
δ
Le problème admettait à la première analyse six équations
pour six inconnues, il reste après une résolution partielle
quatre équations pour quatre inconnues cinématiques, donc
quatre paramètres géométriques dépendants du temps.
1. La lecture du schéma cinématique permet l’élaboration du
graphe des liaisons correspondant
1.5
1
2
3
4
P ( x 1 )
PG ( x 3 )
S (C )P (x 4 )
P ( z 1 )
P(Dte )
: Pivot d’axe (Dte )
PG(Dte )
: Pivot glissant d’axe (Dte )
S(Pt )P(V ec) : Sphère de centre (Pt )
: Plan de normale (V ec)
Ce graphe comporte une chaîne fermée composée de 4
solides et de 4 liaisons pour un total de 9 degrés de liberté.
Une approche cinématique globale met en évidence un indice de mobilité égal à 3.
I c − Ec = 9 − 6 = 3
2. Comme l’indice de mobilité I c − Ec s’interprète comme
la différence des degrés de mobilité et de statisme m − h, on
peut proposer comme inégalité
m − h = 3
m 0
h 0
⇒
m − h = 3
m 3
h 0
Ce mécanisme admet au moins trois mouvements indépendants, que l’on essaie d’imaginer :
• la rotation du seul piston 3, autour de l’axe (C,
x 3 ), toutes
les autres pièces étant immobiles par rapport au bâti ;
• la rotation du plateau 4 par rapport au bâti 1, entraînant la
translation du piston 3 par rapport au barillet 2 alors que le
barillet reste immobile par rapport au bâti ;
• la transformation du mouvement correspondant à la loi
entrée-sortie, le plateau 4 restant immobile par rapport au
bâti.
On n’imagine pas de contrainte lors de l’assemblage de cette
chaîne fermée, notamment au niveau de la liaison sphèreplan. On peut parier en conséquence sur une structure isostatique.
3. L’analyse des sommets du graphe et les données de l’énoncé permettent de faire émerger les caractéristiques géométriques propres à chacun des solides :
x 3
C
• sur le barillet 2 sont définies une demi-droite et une droite
parallèles ;
x 2
y 2
A
D
R
le rayon R = =
− →
AD est un invariant géométrique explicite
sur le barillet 2.
• sur le bâti sont définies deux demi-droites perpendiculaires
et distantes de R.
x 1
y 1
A
B
R
• sur le plateau sont définies une demi-droite et une direction
perpendiculaires.
Il existe ainsi deux rayons R différents, l’un défini sur le bâti,
l’autre sur le barillet.
4. Pour déterminer la loi entrée-sortie demandée, on écrit les
quatre torseurs pour poser les variables cinématiques
V(2/1) = A
˙
α
x 1
0
V(4/1) = B
˙
θ z 1
0
V(3/2) = C
ω 32
x 3
˙
λ x 3
V(3/4) =
(3/4)
V (C, 3/4), avec
V (C, 3/4). x 4 = 0
x 1 = x 2
y 1
z 1
y 2
z 2
z 1 = z 4
x 1
y 1
x 4
y 4
α
θ
Lors du fonctionnement, l’angle θ ne varie plus une fois réglé,
la variable ˙
θ est donc nulle à chaque instant. Il s’agit alors
d’éviter six inconnues sur les huit qui restent, ce qui est obtenu en écrivant la composition des vecteurs vitesse au point C
scalaire
x 4
˙
α
x 1 ∧
− →
AC
.
x 4 + ˙
λ x 3 . x 4 = 0
Au vu des propriétés géométriques énoncées :
• les vecteurs
x 3 et
x 1 sont à chaque instant égaux ;
˙
λ x 3 . x 4 = ˙
λ x 1 . x 4 = ˙
λ cos θ
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