On écrit les trois torseurs cinématiques pour poser les trois
variables cinématiques
V(2/1) = A
˙
α
x 1
0
V(3/1) =
0
˙
λ x 1
V(2/3) = A
ω 23
x 1
u 23
x 1 , avec u 23 = p ω 23
L’analyse des sommets permet de faire ressortir les propriétés géométriques propres à cette structure :
• la vis 2 comporte deux droites confondues et une hélice de
pas p ;
• sur le bâti 1 sont définies une droite et une direction parallèles ;
• l’écrou 3 comporte également une droite et une direction
parallèles, ainsi qu’une hélice de pas p.
Le pas de l’hélice est la seule valeur non nulle caractéristique
de la géométrie du mécanisme.
2. La loi entrée-sortie cherchée intéresse deux des trois inconnues cinématiques
1. Le mécanisme comporte une chaîne fermée de trois solides
34
Vis-Écrou
α
λ
.
.
La composition des mouvements sur la chaîne fermée donne
quatre équations scalaires de la forme 0 = 0 et deux équations non nulles :
• équation des résultantes scalaire
x 1 ;
˙
α − ω 23 = 0
• équation des moments au point A scalaire
x 1 .
˙
λ + p ω 23 = 0
On élimine l’inconnue indésirable pour écrire finalement
˙
λ = −p ˙
α
3. On souhaite ˙
λ 0 pour ˙
α 0, il est donc nécessaire
d’utiliser une hélice à gauche pour la liaison hélicoïdale. On
rapelle qu’une hélice à gauche admet un pas négatif p < 0.
4. Les calculs effectués à la question 2 permettent de
répondre avec certitude :
• on dispose de six équations pour trois inconnues, donc la
structure admet un indice de mobilité I c − E c = 3 ;
• quatre équations sont de la forme 0 = 0 , donc le rang est
inférieur ou égal à 2 et la structure admet au moins un degré
de mobilité ;
• les deux équations écrites permettent d’affirmer que le rang
vaut r c = 2 et on peut donner les valeurs des degrés de
mobilité et de statisme.
m = 1
h = 4
En conclusion, la structure est hyperstatique de degré 4.
1.4
1
2
3
P ( z 1 )
P ( z 1 )
S (C )C ( x 3 )
P Pivot d’axe (Dte)
S Sphère de centre (Pt)
C Cylindre d’axe (Dte)
On compte six inconnues scalaires lors d’une approche cinématique. L’énoncé parle de quatre paramètres géométriques
dépendant du temps. La seule interprétation possible est la
présence non démontrée de deux inconnues cinématiques
nulles.
On note au passage que la composition des mouvements sur
la chaîne fermée de solides 1 − 2 − 3 − 1 donne six équations scalaires pour les six inconnues scalaires comptées.
L’indice de mobilité de cette structure est nulle.
I c − E c = 0
S’il existe un ou plusieurs mouvements possibles, la structure est hyperstatique de degré au moins 1.
2. Une rapide recherche des invariants géométriques permet
de répondre à la question :
• sur le bâti 1 sont définies au moins deux droites parallèles,
distantes de la longueur b ;
• sur le bras moteur 2 sont définis une demi-droite et le point
nommé C, distant du rayon c ;
• on trouve sur le bras récepteur 3 deux droites sécantes au
point B et perpendiculaires.
Le point C est immobile sur le bras moteur, le point B immobile sur le bras récepteur. On interprète ainsi le vecteur
− →
BC
comme un vecteur position du point C dans le mouvement
2/3.
3. On pose les trois torseurs cinématiques, en exploitant le
vecteur position
− →
BC = x
x 3 pour le mouvement 2/3.
V(2/1) = A
˙
α z 1
0
V(3/1) = B
˙
β z 1
0
V(2/3) = C
(2/3)
˙
x
x 3
− →
BC = x
x 3
z 1 = z 2
x 1
y 1
x 2
y 2
z 1 = z 3
x 1
y 1
x 3
y 3
α
β
4. On utilise deux des six équations de fermeture cinématique
à disposition :
• équation de résultante scalaire
x 1 ;
(2/3). x 1 = 0
9782100534197-Mosser-C01.qxd 14/12/09 7:46 Page 34
variables cinématiques
V(2/1) = A
˙
α
x 1
0
V(3/1) =
0
˙
λ x 1
V(2/3) = A
ω 23
x 1
u 23
x 1 , avec u 23 = p ω 23
L’analyse des sommets permet de faire ressortir les propriétés géométriques propres à cette structure :
• la vis 2 comporte deux droites confondues et une hélice de
pas p ;
• sur le bâti 1 sont définies une droite et une direction parallèles ;
• l’écrou 3 comporte également une droite et une direction
parallèles, ainsi qu’une hélice de pas p.
Le pas de l’hélice est la seule valeur non nulle caractéristique
de la géométrie du mécanisme.
2. La loi entrée-sortie cherchée intéresse deux des trois inconnues cinématiques
1. Le mécanisme comporte une chaîne fermée de trois solides
34
Vis-Écrou
α
λ
.
.
La composition des mouvements sur la chaîne fermée donne
quatre équations scalaires de la forme 0 = 0 et deux équations non nulles :
• équation des résultantes scalaire
x 1 ;
˙
α − ω 23 = 0
• équation des moments au point A scalaire
x 1 .
˙
λ + p ω 23 = 0
On élimine l’inconnue indésirable pour écrire finalement
˙
λ = −p ˙
α
3. On souhaite ˙
λ 0 pour ˙
α 0, il est donc nécessaire
d’utiliser une hélice à gauche pour la liaison hélicoïdale. On
rapelle qu’une hélice à gauche admet un pas négatif p < 0.
4. Les calculs effectués à la question 2 permettent de
répondre avec certitude :
• on dispose de six équations pour trois inconnues, donc la
structure admet un indice de mobilité I c − E c = 3 ;
• quatre équations sont de la forme 0 = 0 , donc le rang est
inférieur ou égal à 2 et la structure admet au moins un degré
de mobilité ;
• les deux équations écrites permettent d’affirmer que le rang
vaut r c = 2 et on peut donner les valeurs des degrés de
mobilité et de statisme.
m = 1
h = 4
En conclusion, la structure est hyperstatique de degré 4.
1.4
1
2
3
P ( z 1 )
P ( z 1 )
S (C )C ( x 3 )
P Pivot d’axe (Dte)
S Sphère de centre (Pt)
C Cylindre d’axe (Dte)
On compte six inconnues scalaires lors d’une approche cinématique. L’énoncé parle de quatre paramètres géométriques
dépendant du temps. La seule interprétation possible est la
présence non démontrée de deux inconnues cinématiques
nulles.
On note au passage que la composition des mouvements sur
la chaîne fermée de solides 1 − 2 − 3 − 1 donne six équations scalaires pour les six inconnues scalaires comptées.
L’indice de mobilité de cette structure est nulle.
I c − E c = 0
S’il existe un ou plusieurs mouvements possibles, la structure est hyperstatique de degré au moins 1.
2. Une rapide recherche des invariants géométriques permet
de répondre à la question :
• sur le bâti 1 sont définies au moins deux droites parallèles,
distantes de la longueur b ;
• sur le bras moteur 2 sont définis une demi-droite et le point
nommé C, distant du rayon c ;
• on trouve sur le bras récepteur 3 deux droites sécantes au
point B et perpendiculaires.
Le point C est immobile sur le bras moteur, le point B immobile sur le bras récepteur. On interprète ainsi le vecteur
− →
BC
comme un vecteur position du point C dans le mouvement
2/3.
3. On pose les trois torseurs cinématiques, en exploitant le
vecteur position
− →
BC = x
x 3 pour le mouvement 2/3.
V(2/1) = A
˙
α z 1
0
V(3/1) = B
˙
β z 1
0
V(2/3) = C
(2/3)
˙
x
x 3
− →
BC = x
x 3
z 1 = z 2
x 1
y 1
x 2
y 2
z 1 = z 3
x 1
y 1
x 3
y 3
α
β
4. On utilise deux des six équations de fermeture cinématique
à disposition :
• équation de résultante scalaire
x 1 ;
(2/3). x 1 = 0
9782100534197-Mosser-C01.qxd 14/12/09 7:46 Page 34