Soit un solide S, ensemble de points P i deux à deux équidistants au cours du temps, et R un repère attaché à un autre
solide.
• Pour définir la position d’un point P 1 dans R, il faut et il
suffit de trois paramètres scalaires, appelés coordonnées du
point P 1 dans R ;
P 1
R
x 1
y 1
z 1
• Définir la position d’un deuxième point P 2 , différent de P 1 ,
ajoute trois paramètres scalaires, à savoir ses trois coordonnées.
P 1
R
x 1
y 1
z 1
P 2
R
x 2
y 2
z 2
Les deux points P 1 et P 2 restent équidistants au cours du
temps, ce qui induit une relation scalaire de dépendance
entre ces six paramètres.
(x 2 − x 1 )
2 + (y 2 − y 1 )
2 + (z 2 − z 1 )
2 = d
2
12
• Définir la position d’un troisième point P 3 ajoute ses trois
coordonnées et on obtient au total neuf paramètres.
P 1
R
x 1
y 1
z 1
P 2
R
x 2
y 2
z 2
P 3
R
x 3
y 3
z 3
Ajouter ce troisième point introduit deux nouvelles
relations de dépendance lorsque ces trois points ne sont pas
alignés
(x 2 − x 1 )
2
+ (y 2 − y 1 )
2
+ (z 2 − z 1 )
2
= d
2
12
(x 3 − x 1 )
2
+ (y 3 − y 1 )
2
+ (z 3 − z 1 )
2
= d
2
13
(x 3 − x 2 )
2
+ (y 3 − y 2 )
2
+ (z 3 − z 2 )
2
= d
2
23
• Définir la position d’un quatrième point P 4 ajoute également ses trois coordonnées, ainsi que trois relations de
dépendance, donc aucun paramètre supplémentaire.
En conclusion, la mise en position d’un solide S par rapport
à un repère R nécessite la donnée de six paramètres scalaires
indépendants.
On peut mener en complément l’approche cinématique correspondant au raisonnement géométrique mené :
• un solide libre de tout mouvement possède six degrés de
liberté par rapport au repère de référence ;
• fixer la position d’un point en annule trois et il ne subsiste
que les trois rotations autour de ce point ;
• fixer la position d’un deuxième point différent du premier
annule deux rotations et il ne subsiste que la rotation du
solide autour de la droite joignant ces deux points ;
• la dernière rotation est annulée en fixant la position d’un
troisième point pris en dehors de la droite précédente.
À propos des relations de dépendance
On constate que considérer un cinquième point introduit trois
nouveaux paramètres, ainsi que quatre relations de dépendance. Ce qui tend à montrer que les relations de dépendance
ne sont plus indépendantes !
Un mécanisme mobile et isostatique admet un degré de mobilité m strictement positif et un degré de statisme h nul.
1. Lors de l’approche cinématique, on constate alors plus
d’inconnues que d’équations, et le rang du système d’équations est égal au nombre d’équations.
33
Solutions des exercices
Exercices
d’application
1.1
1.2
r c
m
I c colonnes
E c lignes
I c
=
. . .
. . .
0
0
2. Concernant l’approche dynamique, on constate plus
d’équations que d’inconnues et le rang est égal au nombre
d’inconnues.
I s colonne
E s lignes
m
I s
=
Second
membre
r s
• Ce mécanisme comporte une chaîne fermée de trois solides.
1.3
1
2
3
P ( x 1 )
G(x 1 )
H ( x 1 )
P Pivot d’axe (Dte)
G Glissière suivant (Vec)
H Hélicoïdale d’axe (Dte)
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solide.
• Pour définir la position d’un point P 1 dans R, il faut et il
suffit de trois paramètres scalaires, appelés coordonnées du
point P 1 dans R ;
P 1
R
x 1
y 1
z 1
• Définir la position d’un deuxième point P 2 , différent de P 1 ,
ajoute trois paramètres scalaires, à savoir ses trois coordonnées.
P 1
R
x 1
y 1
z 1
P 2
R
x 2
y 2
z 2
Les deux points P 1 et P 2 restent équidistants au cours du
temps, ce qui induit une relation scalaire de dépendance
entre ces six paramètres.
(x 2 − x 1 )
2 + (y 2 − y 1 )
2 + (z 2 − z 1 )
2 = d
2
12
• Définir la position d’un troisième point P 3 ajoute ses trois
coordonnées et on obtient au total neuf paramètres.
P 1
R
x 1
y 1
z 1
P 2
R
x 2
y 2
z 2
P 3
R
x 3
y 3
z 3
Ajouter ce troisième point introduit deux nouvelles
relations de dépendance lorsque ces trois points ne sont pas
alignés
(x 2 − x 1 )
2
+ (y 2 − y 1 )
2
+ (z 2 − z 1 )
2
= d
2
12
(x 3 − x 1 )
2
+ (y 3 − y 1 )
2
+ (z 3 − z 1 )
2
= d
2
13
(x 3 − x 2 )
2
+ (y 3 − y 2 )
2
+ (z 3 − z 2 )
2
= d
2
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• Définir la position d’un quatrième point P 4 ajoute également ses trois coordonnées, ainsi que trois relations de
dépendance, donc aucun paramètre supplémentaire.
En conclusion, la mise en position d’un solide S par rapport
à un repère R nécessite la donnée de six paramètres scalaires
indépendants.
On peut mener en complément l’approche cinématique correspondant au raisonnement géométrique mené :
• un solide libre de tout mouvement possède six degrés de
liberté par rapport au repère de référence ;
• fixer la position d’un point en annule trois et il ne subsiste
que les trois rotations autour de ce point ;
• fixer la position d’un deuxième point différent du premier
annule deux rotations et il ne subsiste que la rotation du
solide autour de la droite joignant ces deux points ;
• la dernière rotation est annulée en fixant la position d’un
troisième point pris en dehors de la droite précédente.
À propos des relations de dépendance
On constate que considérer un cinquième point introduit trois
nouveaux paramètres, ainsi que quatre relations de dépendance. Ce qui tend à montrer que les relations de dépendance
ne sont plus indépendantes !
Un mécanisme mobile et isostatique admet un degré de mobilité m strictement positif et un degré de statisme h nul.
1. Lors de l’approche cinématique, on constate alors plus
d’inconnues que d’équations, et le rang du système d’équations est égal au nombre d’équations.
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Solutions des exercices
Exercices
d’application
1.1
1.2
r c
m
I c colonnes
E c lignes
I c
=
. . .
. . .
0
0
2. Concernant l’approche dynamique, on constate plus
d’équations que d’inconnues et le rang est égal au nombre
d’inconnues.
I s colonne
E s lignes
m
I s
=
Second
membre
r s
• Ce mécanisme comporte une chaîne fermée de trois solides.
1.3
1
2
3
P ( x 1 )
G(x 1 )
H ( x 1 )
P Pivot d’axe (Dte)
G Glissière suivant (Vec)
H Hélicoïdale d’axe (Dte)
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