Chapitre 1 • Théorie des mécanismes
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Exercices d’application
1.1 Un espace à six degrés de liberté
L’espace géométrique dans lequel évoluent les objets est
de dimension 3. La position d’un point dans cet espace est
ainsi caractérisée par trois coordonnées. Un solide est un
ensemble infini de points et une question se pose :
« Combien faut-il de paramètres scalaires indépendants
pour définir la position d’un solide dans l’espace ? »
Répondre à la question précédente par une approche géométrique, à partir de la définition d’un solide indéformable.
1.2 Forme des systèmes d’équations
On considère un mécanisme comportant une structure
mobile et isostatique.
1. Donner la forme du système d’équations obtenu par une
approche cinématique.
2. Recommencer pour une approche dynamique.
1.3 Système vis-écrou
On se propose d’analyser un système de transformation de
mouvement utilisant l’association d’une vis et d’un écrou.
1.4 Un raccourci un peu trop rapide ?
En parcourant un livre de mécanique, un étudiant découvre
un énoncé qui commence ainsi :
« Beaucoup de mécanismes s’appuient sur un triangle
déformable. On se propose d’aborder cette structure à partir de l’exemple proposé ci-dessous.
A
x 1
y 1
z 1
1
3
2
Ce mécanisme comporte trois solides :
• un support 1, auquel on associe un repère (A,
x 1 ,
y 1 , z 1 ) ;
• un écrou 3, guidé en translation rectiligne par rapport au
support par une glissière de direction
x 1 ;
• une vis 2, en liaison pivot d’axe (A,
x 1 ) avec le support
et en liaison hélicoïdale de même axe avec l’écrou.
1. Paramétrer ce mécanisme.
2. Un moteur entraîne la vis par rapport au support et
l’écrou est accroché à un récepteur. Déterminer la loi
entrée-sortie.
3. On souhaite un déplacement suivant ++ x 1 du récepteur
lors de la rotation positive du moteur. Déterminer le sens à
imposer à l’hélice de la liaison hélicoïdale.
4. Évaluer le degré de statisme de cette structure.
x 3
x 1
y 1
x 2
y 2
x
A
C
B
3
2
1
δ
α
β
Ce mécanisme est composé de trois solides :
• un bâti 1 auquel on associe un repère (A,
x 1 ,
y 1 , z 1 ). On
pose
− →
AB = b
x 1 ;
• un bras moteur 2, en liaison pivot d’axe (A, z 1 ) avec le
bâti 1 :
– on lui associe un repère (A,
x 2 ,
y 2 , z 2 ) tel que z 2 = = z 1
et la rotation possible est paramétrée par l’angle α ;
– on définit le point C par
− →
AC = c
x 2 .
• un bras récepteur 3, en liaison pivot d’axe (B, z 1 ) avec le
bâti 1 :
– on lui associe un repère (C,
x 3 ,
y 3 , z 3 ) tel que z 3 = = z 1
et la rotation possible est paramétrée par l’angle β ;
– il est aussi en liaison sphère cylindre de centre C et
d’axe (B,
x 3 ) avec le bras 2, et on pose δ = ( x 2 ,
x 3 ) et
− →
BC = x
x 3 .
Le problème ainsi posé comporte quatre paramètres
dépendant du temps : α , β , δ et x »
L’objectif de cet exercice est de comprendre cette dernière
affirmation.
1. Réaliser le graphe de liaison du mécanisme et dénombrer les inconnues cinématiques. Ce dernier nombre est-il
compatible avec la donnée de quatre paramètres géométriques dépendant du temps ?
2. Que représente le vecteur
− →
BC ?
3. Définir les torseurs cinématiques associés aux liaisons.
4. Justifier l’angle δ posé sur le schéma cinématique entre
les vecteurs
x 2 et
x 3 et conclure.
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Exercices d’application
1.1 Un espace à six degrés de liberté
L’espace géométrique dans lequel évoluent les objets est
de dimension 3. La position d’un point dans cet espace est
ainsi caractérisée par trois coordonnées. Un solide est un
ensemble infini de points et une question se pose :
« Combien faut-il de paramètres scalaires indépendants
pour définir la position d’un solide dans l’espace ? »
Répondre à la question précédente par une approche géométrique, à partir de la définition d’un solide indéformable.
1.2 Forme des systèmes d’équations
On considère un mécanisme comportant une structure
mobile et isostatique.
1. Donner la forme du système d’équations obtenu par une
approche cinématique.
2. Recommencer pour une approche dynamique.
1.3 Système vis-écrou
On se propose d’analyser un système de transformation de
mouvement utilisant l’association d’une vis et d’un écrou.
1.4 Un raccourci un peu trop rapide ?
En parcourant un livre de mécanique, un étudiant découvre
un énoncé qui commence ainsi :
« Beaucoup de mécanismes s’appuient sur un triangle
déformable. On se propose d’aborder cette structure à partir de l’exemple proposé ci-dessous.
A
x 1
y 1
z 1
1
3
2
Ce mécanisme comporte trois solides :
• un support 1, auquel on associe un repère (A,
x 1 ,
y 1 , z 1 ) ;
• un écrou 3, guidé en translation rectiligne par rapport au
support par une glissière de direction
x 1 ;
• une vis 2, en liaison pivot d’axe (A,
x 1 ) avec le support
et en liaison hélicoïdale de même axe avec l’écrou.
1. Paramétrer ce mécanisme.
2. Un moteur entraîne la vis par rapport au support et
l’écrou est accroché à un récepteur. Déterminer la loi
entrée-sortie.
3. On souhaite un déplacement suivant ++ x 1 du récepteur
lors de la rotation positive du moteur. Déterminer le sens à
imposer à l’hélice de la liaison hélicoïdale.
4. Évaluer le degré de statisme de cette structure.
x 3
x 1
y 1
x 2
y 2
x
A
C
B
3
2
1
δ
α
β
Ce mécanisme est composé de trois solides :
• un bâti 1 auquel on associe un repère (A,
x 1 ,
y 1 , z 1 ). On
pose
− →
AB = b
x 1 ;
• un bras moteur 2, en liaison pivot d’axe (A, z 1 ) avec le
bâti 1 :
– on lui associe un repère (A,
x 2 ,
y 2 , z 2 ) tel que z 2 = = z 1
et la rotation possible est paramétrée par l’angle α ;
– on définit le point C par
− →
AC = c
x 2 .
• un bras récepteur 3, en liaison pivot d’axe (B, z 1 ) avec le
bâti 1 :
– on lui associe un repère (C,
x 3 ,
y 3 , z 3 ) tel que z 3 = = z 1
et la rotation possible est paramétrée par l’angle β ;
– il est aussi en liaison sphère cylindre de centre C et
d’axe (B,
x 3 ) avec le bras 2, et on pose δ = ( x 2 ,
x 3 ) et
− →
BC = x
x 3 .
Le problème ainsi posé comporte quatre paramètres
dépendant du temps : α , β , δ et x »
L’objectif de cet exercice est de comprendre cette dernière
affirmation.
1. Réaliser le graphe de liaison du mécanisme et dénombrer les inconnues cinématiques. Ce dernier nombre est-il
compatible avec la donnée de quatre paramètres géométriques dépendant du temps ?
2. Que représente le vecteur
− →
BC ?
3. Définir les torseurs cinématiques associés aux liaisons.
4. Justifier l’angle δ posé sur le schéma cinématique entre
les vecteurs
x 2 et
x 3 et conclure.
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