• Pour la pulsation ω m , le gain en dB est égal à 10 Log
1
a
.
Par suite
C ap ( jω) =
1 + j T ω
1 + jaT ω
=
1 + aT
2
ω
2
+ j T ω (1 − a)
√
1 + a 2 T 2 ω 2
d’où
ϕ(ω) = Arctg
T ω (1 − a)
1 + aT 2 ω 2
La phase maximale est
ϕ m = arg (C ap ( jω m )) = Arctg
1 − a
2
√
a
On obtient aussi
sin ϕ m =
tgϕ m
1 + tg 2 ϕ m
=
1 − a
4a + (1 − a)
2
et finalement
sin ϕ m =
1 − a
1 + a
13. On souhaite obtenir une marge de phase de 45° pour une
pulsation de coupure ω 0 dB = 31,4 rad.s −1 .
• Le terme K du correcteur n’a pas d’influence sur la phase de
la FTBO.
• Le terme
1
p
diminue uniformément la phase de 90°.
• On choisit de placer la pulsation ω m du correcteur à avance
de phase pour apporter le maximum de phase pour la pulsation ω 0 = 2π.5 Hz = 31,4 rad.s −1 .
On veut donc satisfaire l’équation
M ϕ = Arg(H 0 ( jω 0 )) + 0° − 90° + ϕ m + 180°
Sur la figure 5.49, on lit
Arg(H 0 ( jω 0 )) = −122°
Par suite
45° = −122° + 0° − 90° + ϕ m + 180°
puis
ϕ m = 77°
À partir de la relation mise en place à la question précédente,
on obtient :
a =
1 − sin ϕ m
1 + sin ϕ m
L’application numérique conduit à :
a =
1 − sin 77
1 + sin 77
= 0,013
Faire coïncider les pulsations ω m et ω 0 , c’est écrire que
1
T
√
a
= ω 0
Par suite
T =
1
ω 0
√
a
L’application numérique donne T = 0,28 .
14. Pour satisfaire le critère de rapidité, il faut que le gain de
la FTBO soit nul pour la pulsation ω 0 qui est choisie égale à
ω m .
Cette condition se traduit par :
20 Log |H 0 ( jω 0 )| + 20 Log K − 20 Log (ω 0 )
+10 Log
1
a
= 0
Par suite, on trouve
20 Log K = 20 Log (ω 0 ) − 20 Log |H 0 ( jω 0 )| + 10 Log (a)
avec
20 Log |H 0 ( jω 0 )| = −5,4 dB
soit
20 Log K = 16,5 dB
et
K = 6,7
En prenant a = 0,013, T = 0,28 et K = 6,7, il faut remarquer que :
• les performances attendues sont respectées à l’exception de
la marge de phase ;
• la phase atteint la valeur de −180° pour ω = 112 rad.s −1 , ce
qui conduit à une marge de gain M G = 18 dB.
15. Le système corrigé selon la figure 5.50 vérifie :
20 Log |FT B O cor ( jω −180° )| = −88 dB
La marge de gain est donc M G = 88 dB.
16. Pour le système corrigé selon la figure 5.50 :
• le critère de précision est satisfait puisque le gain tend vers
l’infini lorsque la pulsation tend vers zéro ;
• le critère de stabilité est satisfait puisque les marges de gain
et de phase sont respectées ;
• l’examen de la courbe fournie ne permet pas de conclure en
ce qui concerne le critère de rapidité. En effet, la valeur de la
pulsation de coupure à zéro dB n’est pas indiquée. Si la valeur de cette pulsation est 2π.5 Hz, alors le critère de rapidité est satisfait.
En conclusion, si la valeur de la pulsation de coupure à zéro dB
est 2π.5 Hz, alors le correcteur a la capacité à satisfaire l’ensemble du cahier des charges.
212
G(dB )
0
1
T
1
a T
20dB/dec
m
m
90
0
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
Figure 5.62 Diagramme de BODE de C ap ( p).
9782100534197-Mosser-C05.qxd 14/12/09 8:03 Page 212
1
a
.
Par suite
C ap ( jω) =
1 + j T ω
1 + jaT ω
=
1 + aT
2
ω
2
+ j T ω (1 − a)
√
1 + a 2 T 2 ω 2
d’où
ϕ(ω) = Arctg
T ω (1 − a)
1 + aT 2 ω 2
La phase maximale est
ϕ m = arg (C ap ( jω m )) = Arctg
1 − a
2
√
a
On obtient aussi
sin ϕ m =
tgϕ m
1 + tg 2 ϕ m
=
1 − a
4a + (1 − a)
2
et finalement
sin ϕ m =
1 − a
1 + a
13. On souhaite obtenir une marge de phase de 45° pour une
pulsation de coupure ω 0 dB = 31,4 rad.s −1 .
• Le terme K du correcteur n’a pas d’influence sur la phase de
la FTBO.
• Le terme
1
p
diminue uniformément la phase de 90°.
• On choisit de placer la pulsation ω m du correcteur à avance
de phase pour apporter le maximum de phase pour la pulsation ω 0 = 2π.5 Hz = 31,4 rad.s −1 .
On veut donc satisfaire l’équation
M ϕ = Arg(H 0 ( jω 0 )) + 0° − 90° + ϕ m + 180°
Sur la figure 5.49, on lit
Arg(H 0 ( jω 0 )) = −122°
Par suite
45° = −122° + 0° − 90° + ϕ m + 180°
puis
ϕ m = 77°
À partir de la relation mise en place à la question précédente,
on obtient :
a =
1 − sin ϕ m
1 + sin ϕ m
L’application numérique conduit à :
a =
1 − sin 77
1 + sin 77
= 0,013
Faire coïncider les pulsations ω m et ω 0 , c’est écrire que
1
T
√
a
= ω 0
Par suite
T =
1
ω 0
√
a
L’application numérique donne T = 0,28 .
14. Pour satisfaire le critère de rapidité, il faut que le gain de
la FTBO soit nul pour la pulsation ω 0 qui est choisie égale à
ω m .
Cette condition se traduit par :
20 Log |H 0 ( jω 0 )| + 20 Log K − 20 Log (ω 0 )
+10 Log
1
a
= 0
Par suite, on trouve
20 Log K = 20 Log (ω 0 ) − 20 Log |H 0 ( jω 0 )| + 10 Log (a)
avec
20 Log |H 0 ( jω 0 )| = −5,4 dB
soit
20 Log K = 16,5 dB
et
K = 6,7
En prenant a = 0,013, T = 0,28 et K = 6,7, il faut remarquer que :
• les performances attendues sont respectées à l’exception de
la marge de phase ;
• la phase atteint la valeur de −180° pour ω = 112 rad.s −1 , ce
qui conduit à une marge de gain M G = 18 dB.
15. Le système corrigé selon la figure 5.50 vérifie :
20 Log |FT B O cor ( jω −180° )| = −88 dB
La marge de gain est donc M G = 88 dB.
16. Pour le système corrigé selon la figure 5.50 :
• le critère de précision est satisfait puisque le gain tend vers
l’infini lorsque la pulsation tend vers zéro ;
• le critère de stabilité est satisfait puisque les marges de gain
et de phase sont respectées ;
• l’examen de la courbe fournie ne permet pas de conclure en
ce qui concerne le critère de rapidité. En effet, la valeur de la
pulsation de coupure à zéro dB n’est pas indiquée. Si la valeur de cette pulsation est 2π.5 Hz, alors le critère de rapidité est satisfait.
En conclusion, si la valeur de la pulsation de coupure à zéro dB
est 2π.5 Hz, alors le correcteur a la capacité à satisfaire l’ensemble du cahier des charges.
212
G(dB )
0
1
T
1
a T
20dB/dec
m
m
90
0
ω
ω
ϕ
ϕ
ω
Figure 5.62 Diagramme de BODE de C ap ( p).
9782100534197-Mosser-C05.qxd 14/12/09 8:03 Page 212