procher de la valeur ω c attendue, on doit choisir une valeur de
h conduisant à la plus grande valeur possible de µ 2 .
4. Le choix h = 20 cm étant fait, on obtient µ 1 = 10
3 s −2 et
µ 2 = 244 s −2 .
Les coefficients d’amortissement pour les deux mouvements
sont
ξ 1 =
g
2
√
µ 1
et
ξ 2 =
g
2
√
µ 2
soit
ξ 1 = 0,79
et
ξ 2 = 1,6
Ces deux valeurs étant supérieures à
√
2
2
, le critère pas de résonance de la fonction de service FS1 est satisfait.
5. Un mouvement d’oscillation à 1,5 Hz correspond à une pulsation ω = 9,4 rad.s −1 .
Pour cette pulsation, le gain de la fonction de transfert liant θ 8
à θ 7 est environ −6,2 dB, ce qui conduit à un rapport d’amplitudes
θ 8
θ 7
= 0,49
6. La chaine de retour unitaire étant déjà en place sur le schéma
bloc de la figure 5.47, on trouve directement
H 0 ( p) = 2k
1
1 +
g
p
1
Mp 2
soit après transformation
H 0 ( p) =
2k
Mg
p
1 +
1
g
p
7. L’analyse de la fonction de transfert conduit aux résultats
qui suivent.
• Comme la FTBO H 0 ( p) du système est de classe 1, le critère de précision est satisfait.
• Le critère de marge de gain est satisfait car la phase tend vers
−180° sans jamais atteindre cette valeur. La marge de gain
est infinie.
• Par contre le système est plus lent que voulu dans la mesure
où la pulsation de coupure à 0 dB est inférieure à la valeur
souhaitée :
on trouve ω 0 dB ≈ 19 rad.s −1 pour une valeur attendue de
31,4 rad.s −1 .
• Pour la pulsation ω 0 dB , la phase vaut −110° . La marge de
phase est donc M ϕ = −110 + 180 = 70°. Cette valeur est
nettement supérieure à la valeur souhaitée.
En conclusion, le système est stable, précis, mais trop lent.
8. On souhaite une marge de phase de M ϕ = 45°.
Pour satisfaire cette condition, la pulsation de coupure à 0 dB
doit être telle que :
45° = ϕ(ω 0 dB ) + 180°
d’où
ϕ(ω 0 dB ) = −135°
Par lecture sur le diagramme de BODE en phase, on trouve une
pulsation ω 0 dB = 50 rad.s −1 .
Pour cette pulsation, on trouve un gain du système non corrigé
de −11 dB .
Le gain C 0 du correcteur doit translater la courbe de gain de
+11 dB , ce qui conduit à
C 0 = 20 Log (11) = 3,55
9. La pulsation de coupure à 0 dB est :
• ω 0 dB = 50 rad.s −1 ;
• donc supérieure à la valeur souhaitée de 31,4 rad.s −1 .
En conclusion, le système devrait être rapide, mais il n’est pas
conforme au cahier des charges de la fonction FS1.
10. Avec le correcteur intégral proposé, la FTBO devient
H 0 ( p) =
2k
T i Mg
.
1
p 2
1 +
1
g
p
• Son diagramme de BODE en phase est déduit du diagramme
de la figure 5.60 par une translation de −90°.
• La phase du système corrigé varie donc de −180° à −270° .
• Le système devient instable car on ne peut avoir de marge de
phase positive.
Le système ne satisfait pas au cahier des charges.
11. Avec le choix d’un correcteur intégral et à avance de
phase :
• En terme de précision :
– la classe de la FTBO est 2 ;
– l’écart statique d’un tel système est nul aussi bien pour une
entrée en échelon que pour une entrée en rampe.
Ce système est plus précis que les précédents, à condition d’être
stable.
• En terme de stabilité :
– le correcteur à avance de phase permet d’augmenter localement la phase ;
– bien positionné le correcteur à avance de phase permet de
passer au dessus de −180° et d’obtenir une marge de phase
suffisante.
Il permet donc de faire en sorte que le système soit stable.
12. Les diagrammes de BODE de
C ap ( p) =
1 + T p
1 + aT p
avec a < 1 présentent deux pulsations de cassure :
1
T
et
1
aT
Leurs diagrammes asymptotiques et réels sont représentés figure 5.62.
• Le gain en dB varie de 0 à 20 Log
1
a
.
• La phase passe par un maximum pour ω m =
1
T
√
a
.
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h conduisant à la plus grande valeur possible de µ 2 .
4. Le choix h = 20 cm étant fait, on obtient µ 1 = 10
3 s −2 et
µ 2 = 244 s −2 .
Les coefficients d’amortissement pour les deux mouvements
sont
ξ 1 =
g
2
√
µ 1
et
ξ 2 =
g
2
√
µ 2
soit
ξ 1 = 0,79
et
ξ 2 = 1,6
Ces deux valeurs étant supérieures à
√
2
2
, le critère pas de résonance de la fonction de service FS1 est satisfait.
5. Un mouvement d’oscillation à 1,5 Hz correspond à une pulsation ω = 9,4 rad.s −1 .
Pour cette pulsation, le gain de la fonction de transfert liant θ 8
à θ 7 est environ −6,2 dB, ce qui conduit à un rapport d’amplitudes
θ 8
θ 7
= 0,49
6. La chaine de retour unitaire étant déjà en place sur le schéma
bloc de la figure 5.47, on trouve directement
H 0 ( p) = 2k
1
1 +
g
p
1
Mp 2
soit après transformation
H 0 ( p) =
2k
Mg
p
1 +
1
g
p
7. L’analyse de la fonction de transfert conduit aux résultats
qui suivent.
• Comme la FTBO H 0 ( p) du système est de classe 1, le critère de précision est satisfait.
• Le critère de marge de gain est satisfait car la phase tend vers
−180° sans jamais atteindre cette valeur. La marge de gain
est infinie.
• Par contre le système est plus lent que voulu dans la mesure
où la pulsation de coupure à 0 dB est inférieure à la valeur
souhaitée :
on trouve ω 0 dB ≈ 19 rad.s −1 pour une valeur attendue de
31,4 rad.s −1 .
• Pour la pulsation ω 0 dB , la phase vaut −110° . La marge de
phase est donc M ϕ = −110 + 180 = 70°. Cette valeur est
nettement supérieure à la valeur souhaitée.
En conclusion, le système est stable, précis, mais trop lent.
8. On souhaite une marge de phase de M ϕ = 45°.
Pour satisfaire cette condition, la pulsation de coupure à 0 dB
doit être telle que :
45° = ϕ(ω 0 dB ) + 180°
d’où
ϕ(ω 0 dB ) = −135°
Par lecture sur le diagramme de BODE en phase, on trouve une
pulsation ω 0 dB = 50 rad.s −1 .
Pour cette pulsation, on trouve un gain du système non corrigé
de −11 dB .
Le gain C 0 du correcteur doit translater la courbe de gain de
+11 dB , ce qui conduit à
C 0 = 20 Log (11) = 3,55
9. La pulsation de coupure à 0 dB est :
• ω 0 dB = 50 rad.s −1 ;
• donc supérieure à la valeur souhaitée de 31,4 rad.s −1 .
En conclusion, le système devrait être rapide, mais il n’est pas
conforme au cahier des charges de la fonction FS1.
10. Avec le correcteur intégral proposé, la FTBO devient
H 0 ( p) =
2k
T i Mg
.
1
p 2
1 +
1
g
p
• Son diagramme de BODE en phase est déduit du diagramme
de la figure 5.60 par une translation de −90°.
• La phase du système corrigé varie donc de −180° à −270° .
• Le système devient instable car on ne peut avoir de marge de
phase positive.
Le système ne satisfait pas au cahier des charges.
11. Avec le choix d’un correcteur intégral et à avance de
phase :
• En terme de précision :
– la classe de la FTBO est 2 ;
– l’écart statique d’un tel système est nul aussi bien pour une
entrée en échelon que pour une entrée en rampe.
Ce système est plus précis que les précédents, à condition d’être
stable.
• En terme de stabilité :
– le correcteur à avance de phase permet d’augmenter localement la phase ;
– bien positionné le correcteur à avance de phase permet de
passer au dessus de −180° et d’obtenir une marge de phase
suffisante.
Il permet donc de faire en sorte que le système soit stable.
12. Les diagrammes de BODE de
C ap ( p) =
1 + T p
1 + aT p
avec a < 1 présentent deux pulsations de cassure :
1
T
et
1
aT
Leurs diagrammes asymptotiques et réels sont représentés figure 5.62.
• Le gain en dB varie de 0 à 20 Log
1
a
.
• La phase passe par un maximum pour ω m =
1
T
√
a
.
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