1. La relation liant Z 8 ( p) à Z 7 ( p) peut s’écrire
(Mp ( p + g) + 2k) Z 8 = 2k Z 7
doù
Z 8
Z 7
=
2k
Mp 2 + Mpg + 2k
puis finalement
µ 1 =
2k
M
De la même façon, on obtient
B 8 + Mh
2
p ( p + g) +
2
3
k L
2
θ 8 =
2
3
k L
2 θ 7
puis
θ 8
θ 7
=
2
3
k L
2
B 8 + Mh 2
p 2 +
B 8 + Mh 2
pg +
2
3
k L 2
On trouve pour terminer
µ 2 =
2k L
2
3
B 8 + Mh 2
Les applications numériques demandées conduisent à
µ 1 = 10
3 s
−2
et
µ 2 =
30
0,083 + h 2
(avec µ 2 en s −2 pour h exprimé en m).
2. On souhaite que le système, qui est du second ordre, ne présente pas de résonance. Ce résultat est obtenu si son coefficient
d’amortissement ξ est supérieur à
√
2
2
.
En écrivant la FTBO sous forme canonique, on établit que :
S( p)
E( p)
=
1
1 +
2ξ
ω n
p +
1
ω 2
n
p 2
et
S( p)
E( p)
=
1
1 +
g
µ
p +
1
µ
p 2
En identifiant les deux formes, on trouve immédiatement :
• la pulsation propre du système ω n =
√
µ ;
• le coefficient d’amortissement ξ =
g
2
√
µ
.
La condition ξ
√
2
2
conduit à
g
2µ
Une application numérique faite pour µ = µ 1 , qui est supérieur
à µ 2 d’après la figure 5.45, permet de calculer la valeur minimale de g soit :
g
2µ 1 = 44,7 s
−1
Le choix de g = 50 s −1 est donc satisfaisant pour ce critère de
performance.
3. Il faut considérer chaque mouvement séparément.
• Pour le mouvement de translation, la pulsation de cassure est
la pulsation propre du système ω n =
√
µ 1 , soit
ω n =
2k
M
– Sa valeur est indépendante de h et vaut ω n = 31,6 rad.s −1 .
– Elle très proche de la valeur demandée ω c = 2π.5 =
31,42 rad.s −1 .
• Pour le mouvement de rotation, la valeur optimale de h correspond à la racine de l’équation
ω c =
√
µ 2 =
2k L
2
3
B 8 + Mh 2
d’où
3ω
2
c
B 8 + Mh
2
= 2k L
2
puis h =
1
M
2k L
2
3ω 2
c
− B 8
L’application numérique ne conduit à aucune solution car
2k L
2
3ω 2
c
− B 8 < 0 .
Ce résultat concorde avec le graphe de la figure 5.45 car la
valeur de µ 1 convient et il n’y a pas d’intersection entre les
courbes µ 1 (h) et µ 2 (h).
En conclusion, le critère pulsation de cassure est respecté pour
la translation, mais pas pour la rotation. Cependant, pour se rap210
0.01
0.1
0.5
1
2
5
10
20
50
100
1000
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Gain
(dB )
180 170 160 150 140 130 120 110 100
90
80
(
o )
ϕ
Figure 5.61 Diagrammes de BLACK non corrigé et corrigé.
Exercices
d’appofondissement
5.11
9782100534197-Mosser-C05.qxd 14/12/09 8:03 Page 210
(Mp ( p + g) + 2k) Z 8 = 2k Z 7
doù
Z 8
Z 7
=
2k
Mp 2 + Mpg + 2k
puis finalement
µ 1 =
2k
M
De la même façon, on obtient
B 8 + Mh
2
p ( p + g) +
2
3
k L
2
θ 8 =
2
3
k L
2 θ 7
puis
θ 8
θ 7
=
2
3
k L
2
B 8 + Mh 2
p 2 +
B 8 + Mh 2
pg +
2
3
k L 2
On trouve pour terminer
µ 2 =
2k L
2
3
B 8 + Mh 2
Les applications numériques demandées conduisent à
µ 1 = 10
3 s
−2
et
µ 2 =
30
0,083 + h 2
(avec µ 2 en s −2 pour h exprimé en m).
2. On souhaite que le système, qui est du second ordre, ne présente pas de résonance. Ce résultat est obtenu si son coefficient
d’amortissement ξ est supérieur à
√
2
2
.
En écrivant la FTBO sous forme canonique, on établit que :
S( p)
E( p)
=
1
1 +
2ξ
ω n
p +
1
ω 2
n
p 2
et
S( p)
E( p)
=
1
1 +
g
µ
p +
1
µ
p 2
En identifiant les deux formes, on trouve immédiatement :
• la pulsation propre du système ω n =
√
µ ;
• le coefficient d’amortissement ξ =
g
2
√
µ
.
La condition ξ
√
2
2
conduit à
g
2µ
Une application numérique faite pour µ = µ 1 , qui est supérieur
à µ 2 d’après la figure 5.45, permet de calculer la valeur minimale de g soit :
g
2µ 1 = 44,7 s
−1
Le choix de g = 50 s −1 est donc satisfaisant pour ce critère de
performance.
3. Il faut considérer chaque mouvement séparément.
• Pour le mouvement de translation, la pulsation de cassure est
la pulsation propre du système ω n =
√
µ 1 , soit
ω n =
2k
M
– Sa valeur est indépendante de h et vaut ω n = 31,6 rad.s −1 .
– Elle très proche de la valeur demandée ω c = 2π.5 =
31,42 rad.s −1 .
• Pour le mouvement de rotation, la valeur optimale de h correspond à la racine de l’équation
ω c =
√
µ 2 =
2k L
2
3
B 8 + Mh 2
d’où
3ω
2
c
B 8 + Mh
2
= 2k L
2
puis h =
1
M
2k L
2
3ω 2
c
− B 8
L’application numérique ne conduit à aucune solution car
2k L
2
3ω 2
c
− B 8 < 0 .
Ce résultat concorde avec le graphe de la figure 5.45 car la
valeur de µ 1 convient et il n’y a pas d’intersection entre les
courbes µ 1 (h) et µ 2 (h).
En conclusion, le critère pulsation de cassure est respecté pour
la translation, mais pas pour la rotation. Cependant, pour se rap210
0.01
0.1
0.5
1
2
5
10
20
50
100
1000
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Gain
(dB )
180 170 160 150 140 130 120 110 100
90
80
(
o )
ϕ
Figure 5.61 Diagrammes de BLACK non corrigé et corrigé.
Exercices
d’appofondissement
5.11
9782100534197-Mosser-C05.qxd 14/12/09 8:03 Page 210