La FTBF peut être mise sous la forme
C( p) = K
1 + τ 2 p
1 + aτ 2 p
avec K = 12, a = 12 et τ 2 = 0,1
Le coefficient a du dénominateur est plus grand que 1, ce qui
correspond bien au cas d’un correcteur PI réel.
1. D’un point de vue stabilité :
• On constate que la réponse indicielle tend vers la valeur 1 et
qu’elle est caractérisée par un fort dépassement pour un
temps de réponse à t 5 % de 0,15 s.
• Le diagramme de BLACK permet de déterminer les marges de
stabilité ainsi que la pulsation de coupure à 0 dB. On trouve :
– une marge de gain infinie ;
– une marge de phase M ϕ = 25° ;
– une pulsation de coupure à 0 dB qui vaut ω od B = 85 rad/s.
En conclusion, le système est stable mais les oscillations sont
trop importantes.
On peut attendre d’une correction qu’elle améliore la stabilité
en augmentant la marge de phase. Il faut cependant veiller à
limiter la baisse de la pulsation de coupure à 0 dB pour ne pas
trop diminuer la rapidité du système.
2. Par deux manipulations, le schéma-bloc de la figure 5.40 devient d’abord
Dans ces conditions la fonction de transfert du correcteur est
donc :
C( p) =
1
1 + GT H( p)
Pour la fonction de transfert H ( p) donnée on obtient alors :
C( p) =
1
1 + GT K
1 + τ p
1 +
τ
1 + GT K
p
Le correcteur est un correcteur à avance de phase.
3. Après avoir calculé module et argument de C ( jω), les diagrammes de BODE du correcteur peuvent se construire à partir
du tableau suivant :
209
0
7.5
15
Gain
(dB )
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
80
60
40
20
0
Phase
(
0
)
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
ω
ω
Figure 5.59 Diagramme de BODE
pour K 1 = 1, K 2 = −
11
12 et τ 2 = 0,1 .
+ -
+ -
H (p)
1
p
GT H (p)
X (p)
( p)
U(p)
V (p)
Y (p)
ε
+ -
1
1 + GT H (p)
1
p
H (p)
X (p)
(p)
U(p)
V (p)
Y (p)
ε
Puis ensuite
5.10
ω (rad/s)
0.1
0.5
2
5
10
20
ϕ (°)
– 90,1 – 91 – 93 – 97 – 104 – 117
G (dB)
66
52
40
32
26
19
On arrive aux diagrammes de BODE représentés figure 5.60
ω (rad/s)
50
100 500 1000
ϕ (°)
– 141 – 158 – 175 – 178
G (dB)
8
– 3 – 30 – 42
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Gain
(dB )
10 1
10 0
10 1
10 2
10 3
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
10 1
10 0
10 1
10 2
10 3
ϕ
ω
ω
Figure 5.60 Diagramme de BODE du correcteur.
4. Sur le diagramme de BLACK de la figure 5.39, on voit l’influence de la correction sur le lieu de la FTBO.
Son tracé est obtenu point par point en utilisant les données établies pour le correcteur. Les décalages correspondent aux variations de module et d’argument induites par l’ajout du correcteur.
Sur le diagramme corrigé, on peut déterminer :
• la marge de gain qui est infinie ;
• la marge de phase qui vaut M ϕ = 180° − 114° = 66° ;
• la pulsation de coupure à 0 dB qui est ω 0 dB = 57 rad/s
(légèrement supérieure à 50 rad/s).
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C( p) = K
1 + τ 2 p
1 + aτ 2 p
avec K = 12, a = 12 et τ 2 = 0,1
Le coefficient a du dénominateur est plus grand que 1, ce qui
correspond bien au cas d’un correcteur PI réel.
1. D’un point de vue stabilité :
• On constate que la réponse indicielle tend vers la valeur 1 et
qu’elle est caractérisée par un fort dépassement pour un
temps de réponse à t 5 % de 0,15 s.
• Le diagramme de BLACK permet de déterminer les marges de
stabilité ainsi que la pulsation de coupure à 0 dB. On trouve :
– une marge de gain infinie ;
– une marge de phase M ϕ = 25° ;
– une pulsation de coupure à 0 dB qui vaut ω od B = 85 rad/s.
En conclusion, le système est stable mais les oscillations sont
trop importantes.
On peut attendre d’une correction qu’elle améliore la stabilité
en augmentant la marge de phase. Il faut cependant veiller à
limiter la baisse de la pulsation de coupure à 0 dB pour ne pas
trop diminuer la rapidité du système.
2. Par deux manipulations, le schéma-bloc de la figure 5.40 devient d’abord
Dans ces conditions la fonction de transfert du correcteur est
donc :
C( p) =
1
1 + GT H( p)
Pour la fonction de transfert H ( p) donnée on obtient alors :
C( p) =
1
1 + GT K
1 + τ p
1 +
τ
1 + GT K
p
Le correcteur est un correcteur à avance de phase.
3. Après avoir calculé module et argument de C ( jω), les diagrammes de BODE du correcteur peuvent se construire à partir
du tableau suivant :
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0
7.5
15
Gain
(dB )
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
80
60
40
20
0
Phase
(
0
)
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
ω
ω
Figure 5.59 Diagramme de BODE
pour K 1 = 1, K 2 = −
11
12 et τ 2 = 0,1 .
+ -
+ -
H (p)
1
p
GT H (p)
X (p)
( p)
U(p)
V (p)
Y (p)
ε
+ -
1
1 + GT H (p)
1
p
H (p)
X (p)
(p)
U(p)
V (p)
Y (p)
ε
Puis ensuite
5.10
ω (rad/s)
0.1
0.5
2
5
10
20
ϕ (°)
– 90,1 – 91 – 93 – 97 – 104 – 117
G (dB)
66
52
40
32
26
19
On arrive aux diagrammes de BODE représentés figure 5.60
ω (rad/s)
50
100 500 1000
ϕ (°)
– 141 – 158 – 175 – 178
G (dB)
8
– 3 – 30 – 42
10
9
8
7
6
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4
3
2
1
0
Gain
(dB )
10 1
10 0
10 1
10 2
10 3
0
4
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24
28
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36
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10 1
10 0
10 1
10 2
10 3
ϕ
ω
ω
Figure 5.60 Diagramme de BODE du correcteur.
4. Sur le diagramme de BLACK de la figure 5.39, on voit l’influence de la correction sur le lieu de la FTBO.
Son tracé est obtenu point par point en utilisant les données établies pour le correcteur. Les décalages correspondent aux variations de module et d’argument induites par l’ajout du correcteur.
Sur le diagramme corrigé, on peut déterminer :
• la marge de gain qui est infinie ;
• la marge de phase qui vaut M ϕ = 180° − 114° = 66° ;
• la pulsation de coupure à 0 dB qui est ω 0 dB = 57 rad/s
(légèrement supérieure à 50 rad/s).
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