Chapitre 1 • Théorie des mécanismes
14
On pose les deux torseurs cinématiques pour caractériser les six inconnues cinématiques
V(2a/1) = A
(2a/1)
0
V(2b/1) = B
(2b/1)
0
En vue d’écrire le système d’équations, on pose les composantes suivantes :
(2a/1) = p a
x 1 + q a
y 1 + r a z 1
(2b/1) = p b
x 1 + q b
y 1 + r b z 1
− →
AB = L
x 1
On écrit la composition des vecteurs vitesse au point B pour obtenir le système de six
équations à six inconnues recherché
p a − p b = 0
q a − q b = 0
r a − r b = 0
0
= 0
r a L
= 0
−q a L
= 0
La résolution est immédiate et on en déduit les différents résultats sans avoir besoin de
passer par l’écriture matricielle :
• le rang r c est égal à 5 ;
• le degré de mobilité m est égal à 1, avec p a ou p b comme inconnue principale possible ;
• le degré de statisme h est égal à 1, avec une équation de la forme 0 = 0 pour la
composition des vitesses au point B scalaire
x 1 .
Interprétation
Sur les trois rotations possibles de chaque liaison sphérique, une seule le demeure au
sein de la chaîne fermée.
Concernant l’hyperstatisme de degré 1, la recherche des invariants donne l’interprétation géométrique complémentaire de l’analyse cinématique :
• les points A et B sont définis sur chacun des deux solides, ce qui est caché lorsque
l’on pose un peu rapidement
− →
AB = L
x 1 ;
• la présence des deux points sur le bâti 1 conduit d’une part à poser
−−→
A 1 B 1 = L 1
x 1
• la présence des deux points sur l’arbre 2 conduit d’autre part à poser
−−→
A 2 B 2 = L 2
x 2
• les deux longueurs L 1 et L 2 sont souhaitées égales, mais proviennent de deux origines différentes et n’ont aucune chance d’être effectivement égales ;
• le fait de les imaginer différentes permet de comprendre le souci possible au montage, ce qu’illustre la figure ci-dessous sur laquelle la longueur L 1 est supérieure à
la longueur L 2 . Si on suppose les points A i superposés, alors on a un souci en
translation suivant
x 1 pour superposer également les points B i .
C’est uniquement parce que l’on
souhaite écrire le système complet
d’équations que l’on pose des
composantes pour les vecteurs
rotations : ce n’est surtout pas une
habitude à prendre !
Écrire la composition des vitesses au
point A donne un résultat semblable,
qui entraîne bien évidemment les
mêmes conclusions.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
A 2
B 2
L 2
A 1
B 1
L 1
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On pose les deux torseurs cinématiques pour caractériser les six inconnues cinématiques
V(2a/1) = A
(2a/1)
0
V(2b/1) = B
(2b/1)
0
En vue d’écrire le système d’équations, on pose les composantes suivantes :
(2a/1) = p a
x 1 + q a
y 1 + r a z 1
(2b/1) = p b
x 1 + q b
y 1 + r b z 1
− →
AB = L
x 1
On écrit la composition des vecteurs vitesse au point B pour obtenir le système de six
équations à six inconnues recherché
p a − p b = 0
q a − q b = 0
r a − r b = 0
0
= 0
r a L
= 0
−q a L
= 0
La résolution est immédiate et on en déduit les différents résultats sans avoir besoin de
passer par l’écriture matricielle :
• le rang r c est égal à 5 ;
• le degré de mobilité m est égal à 1, avec p a ou p b comme inconnue principale possible ;
• le degré de statisme h est égal à 1, avec une équation de la forme 0 = 0 pour la
composition des vitesses au point B scalaire
x 1 .
Interprétation
Sur les trois rotations possibles de chaque liaison sphérique, une seule le demeure au
sein de la chaîne fermée.
Concernant l’hyperstatisme de degré 1, la recherche des invariants donne l’interprétation géométrique complémentaire de l’analyse cinématique :
• les points A et B sont définis sur chacun des deux solides, ce qui est caché lorsque
l’on pose un peu rapidement
− →
AB = L
x 1 ;
• la présence des deux points sur le bâti 1 conduit d’une part à poser
−−→
A 1 B 1 = L 1
x 1
• la présence des deux points sur l’arbre 2 conduit d’autre part à poser
−−→
A 2 B 2 = L 2
x 2
• les deux longueurs L 1 et L 2 sont souhaitées égales, mais proviennent de deux origines différentes et n’ont aucune chance d’être effectivement égales ;
• le fait de les imaginer différentes permet de comprendre le souci possible au montage, ce qu’illustre la figure ci-dessous sur laquelle la longueur L 1 est supérieure à
la longueur L 2 . Si on suppose les points A i superposés, alors on a un souci en
translation suivant
x 1 pour superposer également les points B i .
C’est uniquement parce que l’on
souhaite écrire le système complet
d’équations que l’on pose des
composantes pour les vecteurs
rotations : ce n’est surtout pas une
habitude à prendre !
Écrire la composition des vitesses au
point A donne un résultat semblable,
qui entraîne bien évidemment les
mêmes conclusions.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
A 2
B 2
L 2
A 1
B 1
L 1
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