• Compte tenu du lieu de la FTBO, la marge de gain est forcément conforme au cahier des charges. Par contre, on peut
déterminer graphiquement la valeur maximale de K permettant de vérifier la marge de phase.
Pour satisfaire le critère « marge de phase » , il faut au minimum translater la FTBO de −2,5 dB, ce qui conduit à
K 10
−2,5
20
soit
K 0,75
2. Avec cette correction proportionnelle, la FTBO est d’ordre 2
et de classe 0. Son gain statique est K a.
Compte tenu des résultats sur les systèmes à FTBO de classe
0, l’écart statique pour une entrée indicielle est :
ε s =
1
1 + aK
Pour satisfaire le cahier des charges, il faut vérifier :
1
1 + aK
0,02
Soit finalement
K 2,45
Cette seconde condition est incompatible avec la condition de
stabilité.
Par suite, une correction proportionnelle ne permet pas de satisfaire le cahier des charges.
➤ Correction proportionnelle intégrale
3. La principale particularité de ce correcteur est d’augmenter
la classe de la FTBO. Ainsi la FBTO du système corrigé est de
classe 1.
Compte tenu des résultats sur les systèmes à FTBO de classe 1,
l’écart statique pour une entrée indicielle est nul. Ce correcteur permet donc de vérifier le critère de précision indépendamment de la valeur de K.
4. La FTBO étant de classe 1, il faut cette fois considérer la
courbe représentée en bleu foncé. On lit directement sur le diagramme que :
• la marge de gain vaut M G = +∞ ;
• la marge de phase vaut M ϕ = 28°.
5. Avec la correction PI, les critères de précision et de marge
de gain sont satisfaits quelle que soit la valeur de K. La seule
contrainte est donc liée au respect du critère de marge de phase.
Pour avoir une marge de phase supérieure ou égale à 40°, il
faut au minimum translater la FTBO de −7 dB, ce qui conduit à
K 10
−7
20
soit
K 0,45
1. Déterminer la forme du correcteur, c’est résoudre l’équation :
C( p)H ( p)
1 + C( p)H ( p)
=
1
1 + 2m
p
ω 0
+
p
2
ω 0
2
Cette résolution conduit à :
C( p) =
ω 0
2
pH( p)(2mω 0 + p)
2. Pour la fonction H ( p) donnée C( p) devient :
C( p) =
ω 0
2
(1 + T 1 p)(1 + T 2 p)
2amω 0 p
1 +
1
2mω 0
p
Pour obtenir une fonction C( p) simple faisant disparaitre la
constante T 1 , il faut prendre des constantes vérifiant :
2mω 0 =
1
T 1
Dans ces conditions, C( p) peut se mettre sous la forme :
C( p) =
1 + T 2 p
4m 2 aT 1 p
=
T 2
4m 2 aT 1
1 +
1
T 2 p
Il s’agit d’un correcteur PI.
3. Pour m = 1, le correcteur est entièrement déterminé en fonction de a, T 1 et T 2 :
C( p) =
T 2
4aT 1
1 +
1
T 2 p
4. À l’examen des réponses indicielles données, on constate que :
• sans correction, l’écart statique est important ;
• avec correction proportionnelle, l’écart statique diminue et se
rapproche de la valeur 1 (son asymptote est voisine de 0,95).
On remarque également des oscillations et un dépassement
important. La stabilité du système diminue ;
• la courbe de réponse obtenue avec la correction PI est la plus
intéressante parce qu’elle a pour asymptote 1. L’écart statique
pour une entrée indicielle est bien nul. Le système semble cependant légèrement moins rapide que les deux autres.
Cette comparaison met en évidence le principal intérêt du correcteur PI : l’annulation de l’écart statique pour une entrée indicielle.
1. La FTBF s’écrit
C( p) =
F 1 ( p)
1 + F 1 ( p)F 2 ( p)
d’où
C( p) =
K 1
1 +
K 1 K 2
1 + τ 2 p
puis C( p) =
K 1 (1 + τ 2 p)
1 + K 1 K 2 + τ 2 p
Par suite
C( p) =
K 1
1 + K 1 K 2
1 + τ 2 p
1 +
1
1 + K 1 K 2
τ 2 p
On constate que le système est du 1 er ordre.
La condition de stabilité est donc :
1
1 + K 1 K 2
τ 2 > 0
2. En prenant K 1 = 8 , K 2 =
7
8
et τ 2 = 0,1, la condition de stabilité est vérifiée.
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déterminer graphiquement la valeur maximale de K permettant de vérifier la marge de phase.
Pour satisfaire le critère « marge de phase » , il faut au minimum translater la FTBO de −2,5 dB, ce qui conduit à
K 10
−2,5
20
soit
K 0,75
2. Avec cette correction proportionnelle, la FTBO est d’ordre 2
et de classe 0. Son gain statique est K a.
Compte tenu des résultats sur les systèmes à FTBO de classe
0, l’écart statique pour une entrée indicielle est :
ε s =
1
1 + aK
Pour satisfaire le cahier des charges, il faut vérifier :
1
1 + aK
0,02
Soit finalement
K 2,45
Cette seconde condition est incompatible avec la condition de
stabilité.
Par suite, une correction proportionnelle ne permet pas de satisfaire le cahier des charges.
➤ Correction proportionnelle intégrale
3. La principale particularité de ce correcteur est d’augmenter
la classe de la FTBO. Ainsi la FBTO du système corrigé est de
classe 1.
Compte tenu des résultats sur les systèmes à FTBO de classe 1,
l’écart statique pour une entrée indicielle est nul. Ce correcteur permet donc de vérifier le critère de précision indépendamment de la valeur de K.
4. La FTBO étant de classe 1, il faut cette fois considérer la
courbe représentée en bleu foncé. On lit directement sur le diagramme que :
• la marge de gain vaut M G = +∞ ;
• la marge de phase vaut M ϕ = 28°.
5. Avec la correction PI, les critères de précision et de marge
de gain sont satisfaits quelle que soit la valeur de K. La seule
contrainte est donc liée au respect du critère de marge de phase.
Pour avoir une marge de phase supérieure ou égale à 40°, il
faut au minimum translater la FTBO de −7 dB, ce qui conduit à
K 10
−7
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soit
K 0,45
1. Déterminer la forme du correcteur, c’est résoudre l’équation :
C( p)H ( p)
1 + C( p)H ( p)
=
1
1 + 2m
p
ω 0
+
p
2
ω 0
2
Cette résolution conduit à :
C( p) =
ω 0
2
pH( p)(2mω 0 + p)
2. Pour la fonction H ( p) donnée C( p) devient :
C( p) =
ω 0
2
(1 + T 1 p)(1 + T 2 p)
2amω 0 p
1 +
1
2mω 0
p
Pour obtenir une fonction C( p) simple faisant disparaitre la
constante T 1 , il faut prendre des constantes vérifiant :
2mω 0 =
1
T 1
Dans ces conditions, C( p) peut se mettre sous la forme :
C( p) =
1 + T 2 p
4m 2 aT 1 p
=
T 2
4m 2 aT 1
1 +
1
T 2 p
Il s’agit d’un correcteur PI.
3. Pour m = 1, le correcteur est entièrement déterminé en fonction de a, T 1 et T 2 :
C( p) =
T 2
4aT 1
1 +
1
T 2 p
4. À l’examen des réponses indicielles données, on constate que :
• sans correction, l’écart statique est important ;
• avec correction proportionnelle, l’écart statique diminue et se
rapproche de la valeur 1 (son asymptote est voisine de 0,95).
On remarque également des oscillations et un dépassement
important. La stabilité du système diminue ;
• la courbe de réponse obtenue avec la correction PI est la plus
intéressante parce qu’elle a pour asymptote 1. L’écart statique
pour une entrée indicielle est bien nul. Le système semble cependant légèrement moins rapide que les deux autres.
Cette comparaison met en évidence le principal intérêt du correcteur PI : l’annulation de l’écart statique pour une entrée indicielle.
1. La FTBF s’écrit
C( p) =
F 1 ( p)
1 + F 1 ( p)F 2 ( p)
d’où
C( p) =
K 1
1 +
K 1 K 2
1 + τ 2 p
puis C( p) =
K 1 (1 + τ 2 p)
1 + K 1 K 2 + τ 2 p
Par suite
C( p) =
K 1
1 + K 1 K 2
1 + τ 2 p
1 +
1
1 + K 1 K 2
τ 2 p
On constate que le système est du 1 er ordre.
La condition de stabilité est donc :
1
1 + K 1 K 2
τ 2 > 0
2. En prenant K 1 = 8 , K 2 =
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et τ 2 = 0,1, la condition de stabilité est vérifiée.
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