– on veut M ϕ = ϕ(ω 0 dB ) + 180° = 40° . La pulsation de
coupure à 0 dB doit donc être telle que ϕ(ω 0d B ) = −140° ;
– pour la phase de −140° , on trouve ω 0 dB = 0,11 rad/s ;
– pour cette pulsation, le gain avant correction vaut 16 dB ;
– pour que cette pulsation devienne la pulsation de coupure
à 0 dB, le gain du correcteur doit donc être égal à −16 dB
pour obtenir une translation de la courbe de gain de 16 dB
vers le bas ;
– le gain du correcteur permettant de satisfaire le critère de
marge de phase est donc
C = 10
− 16
20 = 0,16
• Critère « marge de gain de 12 dB » :
– quel que soit le gain C du correcteur, la pulsation qui correspond à une phase de −180° est ω −180° = 0,45 rad/s ;
– avant correction, le gain pour cette pulsation est −7 dB. Pour
obtenir une marge de gain M G = 12 dB, il faut diminuer
le gain de la FTBO de 5 dB ;
– le gain du correcteur permettant de satisfaire le critère de
marge de gain est donc
C = 10
− 5
20 = 0,56
La valeur maximum de C permettant de satisfaire simultanément les deux critères est la plus petite des deux, soit :
C max = 0,16
Remarque : Les réponses indicielles pour les deux corrections
C = 1 et C = 0,16 sont présentées figure 5.55. On remarque
que le réglage C = 1 est moins stable que le réglage C = 0,16.
En effet, dans le premier cas, la réponse indicielle comporte
des oscillations de plus grandes amplitude et fréquence.
– Pour le système étudié, on a :
Arg (FT B O ( jω 0d B )) =
Arg (ha) + Arg (H ( jω 0 dB )) + Arg
1
jω 0 dB
soit
Arg
FT B O
jω 0,dB
= 0° + Arg
H
jω 0,dB
− 90°
– On en déduit que la pulsation ω 0,dB doit être telle que
Arg
H
jω 0,dB
= −30°.
– Par lecture sur le diagramme de BODE de H ( p), cette
phase de −30° est obtenue pour la pulsation
ω 0,dB = 80 rad.s −1 (voir construction sur figure 5.56).
• Pour la pulsation ω 0,dB , le gain de H ( p) est de −21,5 dB.
La valeur de a qui convient est donc telle que
20 Log (50.a) − 21,5 − 20 log (80) = 0.
Le calcul conduit à :
a = 19
206
0
0.5
1
1.5
2
y
0
2 5
5 0
7 5
1 0 0
1 2 5
1 5 0
t
Figure 5.55 Réponses indicielles pour C = 1 (en noir) et
C = 0,16 (en bleu).
1. Compte tenu de la valeur de C( p), la fonction de transfert
en boucle ouverte du système est
FT B O( p) = h.a.H ( p).
1
p
• Soit ω 0 dB la pulsation pour laquelle le gain de la FTBO est
nul.
– On a M ϕ = 180° + Arg(FT B O( jω 0 dB )) et la marge de
phase souhaitée est M ϕ = 60°.
– Pour obtenir cette marge, il faut que Arg(FT B O( jω 0 dB ))
soit égal à −120° .
5.6
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Gain
(dB )
10 1
10 2
10 3
0dB
105
90
75
60
45
30
15
0
10 1
10 2
10 3
ω
ω
ω
ϕ
Figure 5.56 Détermination de ω 0 dB .
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
y
(m )
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t (ms)
Figure 5.57 Réponse du système
à un échelon de position de 0,1m.
2. La FTBO étant de classe 1, l’écart statique pour une entrée
indicielle est nul.
Complément : Pour ce choix de a, la réponse à un échelon de
position de 0,1 m est représentée figure 5.57.
➤ Correction proportionnelle
1. Le diagramme à considérer est celui d’une FTBO de classe 0.
C’est donc la courbe représentée en bleu ciel qu’il faut prendre
en compte.
• On lit directement sur le diagramme que :
– la marge de gain vaut M G = +∞ ;
– la marge de phase vaut M ϕ = 34°.
5.7
9782100534197-Mosser-C05.qxd 14/12/09 8:03 Page 206
coupure à 0 dB doit donc être telle que ϕ(ω 0d B ) = −140° ;
– pour la phase de −140° , on trouve ω 0 dB = 0,11 rad/s ;
– pour cette pulsation, le gain avant correction vaut 16 dB ;
– pour que cette pulsation devienne la pulsation de coupure
à 0 dB, le gain du correcteur doit donc être égal à −16 dB
pour obtenir une translation de la courbe de gain de 16 dB
vers le bas ;
– le gain du correcteur permettant de satisfaire le critère de
marge de phase est donc
C = 10
− 16
20 = 0,16
• Critère « marge de gain de 12 dB » :
– quel que soit le gain C du correcteur, la pulsation qui correspond à une phase de −180° est ω −180° = 0,45 rad/s ;
– avant correction, le gain pour cette pulsation est −7 dB. Pour
obtenir une marge de gain M G = 12 dB, il faut diminuer
le gain de la FTBO de 5 dB ;
– le gain du correcteur permettant de satisfaire le critère de
marge de gain est donc
C = 10
− 5
20 = 0,56
La valeur maximum de C permettant de satisfaire simultanément les deux critères est la plus petite des deux, soit :
C max = 0,16
Remarque : Les réponses indicielles pour les deux corrections
C = 1 et C = 0,16 sont présentées figure 5.55. On remarque
que le réglage C = 1 est moins stable que le réglage C = 0,16.
En effet, dans le premier cas, la réponse indicielle comporte
des oscillations de plus grandes amplitude et fréquence.
– Pour le système étudié, on a :
Arg (FT B O ( jω 0d B )) =
Arg (ha) + Arg (H ( jω 0 dB )) + Arg
1
jω 0 dB
soit
Arg
FT B O
jω 0,dB
= 0° + Arg
H
jω 0,dB
− 90°
– On en déduit que la pulsation ω 0,dB doit être telle que
Arg
H
jω 0,dB
= −30°.
– Par lecture sur le diagramme de BODE de H ( p), cette
phase de −30° est obtenue pour la pulsation
ω 0,dB = 80 rad.s −1 (voir construction sur figure 5.56).
• Pour la pulsation ω 0,dB , le gain de H ( p) est de −21,5 dB.
La valeur de a qui convient est donc telle que
20 Log (50.a) − 21,5 − 20 log (80) = 0.
Le calcul conduit à :
a = 19
206
0
0.5
1
1.5
2
y
0
2 5
5 0
7 5
1 0 0
1 2 5
1 5 0
t
Figure 5.55 Réponses indicielles pour C = 1 (en noir) et
C = 0,16 (en bleu).
1. Compte tenu de la valeur de C( p), la fonction de transfert
en boucle ouverte du système est
FT B O( p) = h.a.H ( p).
1
p
• Soit ω 0 dB la pulsation pour laquelle le gain de la FTBO est
nul.
– On a M ϕ = 180° + Arg(FT B O( jω 0 dB )) et la marge de
phase souhaitée est M ϕ = 60°.
– Pour obtenir cette marge, il faut que Arg(FT B O( jω 0 dB ))
soit égal à −120° .
5.6
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
Gain
(dB )
10 1
10 2
10 3
0dB
105
90
75
60
45
30
15
0
10 1
10 2
10 3
ω
ω
ω
ϕ
Figure 5.56 Détermination de ω 0 dB .
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
y
(m )
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t (ms)
Figure 5.57 Réponse du système
à un échelon de position de 0,1m.
2. La FTBO étant de classe 1, l’écart statique pour une entrée
indicielle est nul.
Complément : Pour ce choix de a, la réponse à un échelon de
position de 0,1 m est représentée figure 5.57.
➤ Correction proportionnelle
1. Le diagramme à considérer est celui d’une FTBO de classe 0.
C’est donc la courbe représentée en bleu ciel qu’il faut prendre
en compte.
• On lit directement sur le diagramme que :
– la marge de gain vaut M G = +∞ ;
– la marge de phase vaut M ϕ = 34°.
5.7
9782100534197-Mosser-C05.qxd 14/12/09 8:03 Page 206