1. Le système peut être représenté par le schéma-bloc suivant :
– La marge de gain est M G = 0 − 20 Log |F( jω −180 )| soit
M G = 28 dB
• Conclusion : le système, qui présente une marge de phase
M ϕ = +78° et une marge de gain M G = 28 dB, est stable.
3. Une correction proportionnelle de gain K p entraîne une seule
modification des diagrammes de BODE : la courbe de gain est
translatée de 20 Log(K p ).
• Détermination de K p assurant une marge de gain de
M G = 12 dB.
– Le diagramme de phase n’étant pas modifié par l’ajout du
correcteur proportionnel, la pulsation ω −180 est inchangée.
– Pour cette pulsation, le gain de la FTBO corrigée doit être
−12 dB , de sorte que la marge de gain du système corrigé
soit M G = 12 dB.
– Par suite, il faut translater la courbe de gain de 16 dB vers
le haut.
– Le gain K p doit alors vérifier 20 Log (K p ) = 16 dB et
K p = 6,3
• Détermination de la nouvelle marge de phase :
On recherche la nouvelle pulsation de coupure à 0 dB notée
ω
0 dB . En procédant comme à la question précédente, on trouve
la nouvelle marge de phase :
M ϕ = +37 °
• Conclusions :
– Le système, qui présente une marge de phase M ϕ = +37 °
et une marge de gain M G = 12 dB, est stable.
– La nouvelle marge de phase est faible : le système corrigé
est plus rapide mais plus oscillant.
– Si on se limite à une correction proportionnelle, il est souhaitable, pour optimiser le fonctionnement, de déterminer
K p pour obtenir une marge de phase de l’ordre de 45°. Ainsi,
la marge de gain du système corrigé est supérieure à la valeur minimale de 12 dB .
4. Pour le système corrigé, l’écart ε( p) est lié à X ( p) par la
relation
ε( p) =
1
1 + K p .F( p)
X ( p)
On considère une entrée indicielle x(t) = u(t) qui a pour transformée de LAPLACE
X ( p) =
1
p
L’écart statique pour une entrée indicielle est
ε s = lim
t→+∞
ε(t) = lim
p→0
p.ε( p)
= lim
p→0
p.
1
1 + K p .F( p)
.
1
p
= lim
p→0
1
1 + K p .F( p)
203
Solutions des exercices
Exercices
d’application
5.1
+ -
F (p)
X (p)
( p)
Y (p)
ε
2. Les constructions graphiques relatives à la détermination des
marges de stabilité sont représentées sur la figure 5.51.
M G
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
Gain
(dB )
10 0
10 1
10 2
(s
1 )
0dB
0dB
M
M
270
255
240
225
210
195
180
165
150
135
120
105
90
(
o
)
10 0
10 1
10 2
(s
1 )
ω
ω
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ω
Figure 5.51 Diagrammes de BODE de la FTBO – solution.
• Détermination de la marge de phase :
– On recherche sur le diagramme de gain la pulsation de coupure à 0 dB notée ω 0 dB .
– Pour la pulsation ω 0 dB , on recherche la phase de la FTBO.
On évalue ϕ(ω 0 dB ) = −102 °.
– La marge de phase est M ϕ = ϕ(ω 0d B ) + 180 ° d’où
M ϕ = +78 °
• Détermination de la marge de gain :
– Sur le diagramme de phase, on recherche la pulsation pour
laquelle la phase vaut −180°.
– Pour cette pulsation ω −180 , on relève le gain de la FTBO
soit
20 Log |F( jω −180 )| = −28 dB
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