Les diagrammes de BODE de K p .F( p), compte tenu des premières asymptotes indiquent que cette fonction de transfert est
de classe 1. Par suite, l’écart statique pour une entrée indicielle
est
ε s = 0
1. La FTBO du système est
FT B O( jω) =
C k
jω(1 + jωτ ) 2
Par suite :
• cette FTBO est d’ordre 3 et de classe 1 ;
• la phase est : ϕ(ω) = −90 ° − 2 arctg(ωτ ) ;
• la phase prend la valeur −180 ° lorsque ωτ = 1.
Par suite la pulsation demandée est ω −180° = 1/τ.
2. Pour le calcul de C 1 , on établit que :
• pour ω −180° = 1/τ , le module de la FTBO est
|FT B O( j/τ )| =
C k τ
2
;
• le système est à la limite de la stabilité si son lieu de BLACK
passe par le point critique, c’est-à-dire si le module de la FTBO
vaut 1 et la phase vaut −180 ° pour une même pulsation.
Par suite la valeur C 1 demandée est solution de l’équation
C 1 k τ
2
= 1 .
On en déduit que :
C 1 =
2
k τ
puis
C 1 = 2
après application numérique.
3. Une marge de gain de 12 dB correspond à un module de
FT B O( jω −180° ) tel que
20 Log (|FT B O( jω −180° )|) = −12
soit
|FT B O( jω −180° )| = 10
(−12/20) 1/4
Pour assurer la marge de gain de 12 dB il faut diviser C 1
par 4. On obtient finalement :
C 2 = 0,5
1. La FTBO du système est :
FT B O( p) =
C k
p(1 + τ p) 2
En prenant p = jω, la fonction de transfert se met sous la forme :
FT B O( jω) =
−2kCτ
1 + τ 2 ω 2
2 − j
kC
1 − τ
2
ω
2
ω
1 + τ 2 ω 2
2
Au voisinage de 0, la partie imaginaire tend vers moins l’infini tandis que la partie réelle tend vers −2.C.k.τ = −2. La
droite parallèle à l’axe des imaginaires passant par le point −2
est une asymptote du diagramme de NYQUIST de la FTBO.
Le diagramme part donc de −∞ sur cette asymptote pour
contourner l’origine par la gauche puis tendre vers zéro tangentiellement à l’axe des imaginaires positifs. Cette tangente
verticale n’est visible qu’avec un fort grossissement au voisinage de l’origine.
On arrive finalement au tracé de la figure 5.52.
204
5.2
5.3
0
1
Figure 5.52 Diagramme de NYQUIST complet.
0
1
21
o
0.5
0
1
21
0.5
Figure 5.53 Détermination des marges de phase et de gain.
2. Le diagramme de NYQUIST de la FTBO fourni est complété
par des traits de construction sur la figure 5.52.
• Détermination de la marge de phase :
– On trace le cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle correspond aux complexes de module 0 dB.
– L’intersection de la courbe représentative de la FTBO et du
cercle donne le point de la FTBO de gain 0 dB.
– La position de ce point par rapport au point critique permet
de déterminer la marge de phase comme représenté figure
5.53.
On trouve finalement
M ϕ = 21 °
• Détermination de la marge de gain :
– L’intersection du lieu de la FTBO avec l’axe des réels
permet d’obtenir le module de la FTBO quand l’argument
est −180 °.
– On trouve un module |FT B O ( jω −180 ° )| égal à 0,5.
– La marge de gain est −20 Log (|FT B O ( jω −180 ° )|).
La marge de gain est donc finalement
M G = 6 dB
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de classe 1. Par suite, l’écart statique pour une entrée indicielle
est
ε s = 0
1. La FTBO du système est
FT B O( jω) =
C k
jω(1 + jωτ ) 2
Par suite :
• cette FTBO est d’ordre 3 et de classe 1 ;
• la phase est : ϕ(ω) = −90 ° − 2 arctg(ωτ ) ;
• la phase prend la valeur −180 ° lorsque ωτ = 1.
Par suite la pulsation demandée est ω −180° = 1/τ.
2. Pour le calcul de C 1 , on établit que :
• pour ω −180° = 1/τ , le module de la FTBO est
|FT B O( j/τ )| =
C k τ
2
;
• le système est à la limite de la stabilité si son lieu de BLACK
passe par le point critique, c’est-à-dire si le module de la FTBO
vaut 1 et la phase vaut −180 ° pour une même pulsation.
Par suite la valeur C 1 demandée est solution de l’équation
C 1 k τ
2
= 1 .
On en déduit que :
C 1 =
2
k τ
puis
C 1 = 2
après application numérique.
3. Une marge de gain de 12 dB correspond à un module de
FT B O( jω −180° ) tel que
20 Log (|FT B O( jω −180° )|) = −12
soit
|FT B O( jω −180° )| = 10
(−12/20) 1/4
Pour assurer la marge de gain de 12 dB il faut diviser C 1
par 4. On obtient finalement :
C 2 = 0,5
1. La FTBO du système est :
FT B O( p) =
C k
p(1 + τ p) 2
En prenant p = jω, la fonction de transfert se met sous la forme :
FT B O( jω) =
−2kCτ
1 + τ 2 ω 2
2 − j
kC
1 − τ
2
ω
2
ω
1 + τ 2 ω 2
2
Au voisinage de 0, la partie imaginaire tend vers moins l’infini tandis que la partie réelle tend vers −2.C.k.τ = −2. La
droite parallèle à l’axe des imaginaires passant par le point −2
est une asymptote du diagramme de NYQUIST de la FTBO.
Le diagramme part donc de −∞ sur cette asymptote pour
contourner l’origine par la gauche puis tendre vers zéro tangentiellement à l’axe des imaginaires positifs. Cette tangente
verticale n’est visible qu’avec un fort grossissement au voisinage de l’origine.
On arrive finalement au tracé de la figure 5.52.
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5.2
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0
1
Figure 5.52 Diagramme de NYQUIST complet.
0
1
21
o
0.5
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1
21
0.5
Figure 5.53 Détermination des marges de phase et de gain.
2. Le diagramme de NYQUIST de la FTBO fourni est complété
par des traits de construction sur la figure 5.52.
• Détermination de la marge de phase :
– On trace le cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle correspond aux complexes de module 0 dB.
– L’intersection de la courbe représentative de la FTBO et du
cercle donne le point de la FTBO de gain 0 dB.
– La position de ce point par rapport au point critique permet
de déterminer la marge de phase comme représenté figure
5.53.
On trouve finalement
M ϕ = 21 °
• Détermination de la marge de gain :
– L’intersection du lieu de la FTBO avec l’axe des réels
permet d’obtenir le module de la FTBO quand l’argument
est −180 °.
– On trouve un module |FT B O ( jω −180 ° )| égal à 0,5.
– La marge de gain est −20 Log (|FT B O ( jω −180 ° )|).
La marge de gain est donc finalement
M G = 6 dB
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