Chapitre 5 • Performances – Évaluation et amélioration
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des 6 bras sont variables, réglées chacune par un actionneur linéaire de type électro-aimant, indépendamment les
unes des autres. Ces réglages permettent de positionner
l’embase supérieure par rapport à l’embase inférieure,
donc le télescope par rapport à l’assemblage de poutres,
selon les 6 degrés de liberté de l’espace.
Dans ces équations :
• M = 1000 kg est la masse de l’embase supérieure, surmontée du télescope ;
• g = 50 s −1 est la constante de proportionnalité dans la
rétroaction en force de l’amortissement actif ;
• k = 500 000 N.m −1 est la raideur d’élasticité des bras de
la plate-forme ;
• B 8 = 83 kg.m
2 est l’inertie de l’embase supérieure surmontée du télescope selon l’axe de direction
y 8 passant
par son centre de gravité G 8 ;
• h est la distance entre O 8 et G 8
− −− →
O 8 G 8 = h z 8
et
L = 30 cm la longueur au repos de chaque bras.
Les mouvements peuvent donc être modélisés par des
fonctions de transfert du type :
Z 8 ( p)
Z 7 ( p)
=
µ 1
p 2 + gp + µ 1
et
θ 8 ( p)
θ 7 ( p)
=
µ 2
p 2 + gp + µ 2
1. Déterminer l’expression de µ 1 et µ 2 puis calculer numériquement les fonctions de transfert
Z 8 ( p)
Z 7 ( p)
et
θ 8 ( p)
θ 7 ( p)
en
laissant h comme inconnue.
L’étude de la plate-forme revient donc à étudier la fonction
de transfert générique de la forme
S( p)
E( p)
=
µ
p 2 + gp + µ
où S( p) représente la sortie Z 8 ( p) ou θ 8 ( p) et E( p) l’entrée Z 7 ( p) ou θ 7 ( p).
2. Exprimer, en fonction de µ, la condition que g doit vérifier pour qu’il n’y ait pas de résonance.
La figure 5.45 montre l’évolution de µ 1 et µ 2 en fonction
de h.
3. Déterminer la valeur de h qui permettrait, au mieux, de
satisfaire la valeur de ω c pour chaque mouvement.
Pour des problèmes d’encombrement, le centre de gravité
G 8 est situé à une altitude h = 20 cm.
4. Conclure quant à la capacité de la plate-forme à satisfaire ou non le niveau « pas de résonance » de la fonction
FS1.
La figure 5.46 représente les diagrammes de BODE de
Z 8 ( p)
Z 7 ( p)
et
θ 8 ( p)
θ 7 ( p)
, en gain.
Figure 5.43 Plate-forme 6 axes de type Stewart.
➤ Validation du critère de résonance
de la fonction de service FS1
L’objectif de cette partie est la validation du critère de résonance de la fonction FS1, énoncée dans le tableau suivant :
FS1 : permettre
à l’assemblage de poutres
de positionner le télescope
Résonance
Pas de résonance
Pulsation de cassure
ω c = 2π.5 Hz
Fonction
Critère
Niveaux
Le niveaux « pas de résonance » est indispensable car toute
amplification démesurée des amplitudes liée à une résonance risquerait d’endommager gravement les systèmes
embarqués.
Une étude mécanique préalable a permis de mettre en
équation le mouvement de l’embase supérieure de la plateforme avec amortissement actif, basé sur une rétroaction en
force (figure 5.44).
Pour simplifier, seuls les mouvements de translation selon
z 7 = = z 8 et les mouvements de rotation selon
y 7 = =
y 8 entre
les embases supérieure et inférieure seront considérés (les
vecteurs z 7 et z 8 sont définis sur la figure 5.44, les vecteurs
y 7 et
y 8 sont normaux à la figure 5.44). Sous cette hypothèse, en négligeant en première approche le couplage rotation/translation, les équations de mouvement transposées
dans le domaine symbolique s’écrivent :
Mp
2 +
p
p + g
2k
Z 8 =
p
p + g
2k Z 7
B 8 + Mh
2
p
2 +
p
p + g
2
3
k L
2
θ 8 =
p
p + g
2
3
k L
2 θ 7
Embase
inférieure
Embase
sup ´
erieure
z 7 (t)
z 8 (t)
Capteur
k
f a (t)
f i (t)
f a (t) = g f i (t)
Figure 5.44 Principe retenu pour l’amortissement actif :
rétroaction en force.
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des 6 bras sont variables, réglées chacune par un actionneur linéaire de type électro-aimant, indépendamment les
unes des autres. Ces réglages permettent de positionner
l’embase supérieure par rapport à l’embase inférieure,
donc le télescope par rapport à l’assemblage de poutres,
selon les 6 degrés de liberté de l’espace.
Dans ces équations :
• M = 1000 kg est la masse de l’embase supérieure, surmontée du télescope ;
• g = 50 s −1 est la constante de proportionnalité dans la
rétroaction en force de l’amortissement actif ;
• k = 500 000 N.m −1 est la raideur d’élasticité des bras de
la plate-forme ;
• B 8 = 83 kg.m
2 est l’inertie de l’embase supérieure surmontée du télescope selon l’axe de direction
y 8 passant
par son centre de gravité G 8 ;
• h est la distance entre O 8 et G 8
− −− →
O 8 G 8 = h z 8
et
L = 30 cm la longueur au repos de chaque bras.
Les mouvements peuvent donc être modélisés par des
fonctions de transfert du type :
Z 8 ( p)
Z 7 ( p)
=
µ 1
p 2 + gp + µ 1
et
θ 8 ( p)
θ 7 ( p)
=
µ 2
p 2 + gp + µ 2
1. Déterminer l’expression de µ 1 et µ 2 puis calculer numériquement les fonctions de transfert
Z 8 ( p)
Z 7 ( p)
et
θ 8 ( p)
θ 7 ( p)
en
laissant h comme inconnue.
L’étude de la plate-forme revient donc à étudier la fonction
de transfert générique de la forme
S( p)
E( p)
=
µ
p 2 + gp + µ
où S( p) représente la sortie Z 8 ( p) ou θ 8 ( p) et E( p) l’entrée Z 7 ( p) ou θ 7 ( p).
2. Exprimer, en fonction de µ, la condition que g doit vérifier pour qu’il n’y ait pas de résonance.
La figure 5.45 montre l’évolution de µ 1 et µ 2 en fonction
de h.
3. Déterminer la valeur de h qui permettrait, au mieux, de
satisfaire la valeur de ω c pour chaque mouvement.
Pour des problèmes d’encombrement, le centre de gravité
G 8 est situé à une altitude h = 20 cm.
4. Conclure quant à la capacité de la plate-forme à satisfaire ou non le niveau « pas de résonance » de la fonction
FS1.
La figure 5.46 représente les diagrammes de BODE de
Z 8 ( p)
Z 7 ( p)
et
θ 8 ( p)
θ 7 ( p)
, en gain.
Figure 5.43 Plate-forme 6 axes de type Stewart.
➤ Validation du critère de résonance
de la fonction de service FS1
L’objectif de cette partie est la validation du critère de résonance de la fonction FS1, énoncée dans le tableau suivant :
FS1 : permettre
à l’assemblage de poutres
de positionner le télescope
Résonance
Pas de résonance
Pulsation de cassure
ω c = 2π.5 Hz
Fonction
Critère
Niveaux
Le niveaux « pas de résonance » est indispensable car toute
amplification démesurée des amplitudes liée à une résonance risquerait d’endommager gravement les systèmes
embarqués.
Une étude mécanique préalable a permis de mettre en
équation le mouvement de l’embase supérieure de la plateforme avec amortissement actif, basé sur une rétroaction en
force (figure 5.44).
Pour simplifier, seuls les mouvements de translation selon
z 7 = = z 8 et les mouvements de rotation selon
y 7 = =
y 8 entre
les embases supérieure et inférieure seront considérés (les
vecteurs z 7 et z 8 sont définis sur la figure 5.44, les vecteurs
y 7 et
y 8 sont normaux à la figure 5.44). Sous cette hypothèse, en négligeant en première approche le couplage rotation/translation, les équations de mouvement transposées
dans le domaine symbolique s’écrivent :
Mp
2 +
p
p + g
2k
Z 8 =
p
p + g
2k Z 7
B 8 + Mh
2
p
2 +
p
p + g
2
3
k L
2
θ 8 =
p
p + g
2
3
k L
2 θ 7
Embase
inférieure
Embase
sup ´
erieure
z 7 (t)
z 8 (t)
Capteur
k
f a (t)
f i (t)
f a (t) = g f i (t)
Figure 5.44 Principe retenu pour l’amortissement actif :
rétroaction en force.
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