Chapitre 5 • Performances – Évaluation et amélioration
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5.8 Choix d’une correction
On considère un asservissement décrit par le schéma-bloc
à retour unitaire de la figure 5.34.
2. On choisit de prendre les valeurs
K 1 = 8,
K 2 =
7
8
et
τ 2 = 0,1.
• Vérifier que la condition de stabilité est satisfaite.
• Tracer les diagrammes de BODE asymptotiques et réels de
la fonction C( p).
• Peut-on associer cette fonction de transfert à un correcteur particulier ?
Dans l’affirmative, préciser la nature du correcteur et
déterminer ses paramètres caractéristiques.
3. On remarque que prendre un coefficient K 2 négatif
revient à remplacer le soustracteur par un sommateur.
• Effectuer la même analyse qu’à la question précédente
pour les paramètres
K 1 = 1,
K 2 = −
11
12
et
τ 2 = 0,1.
5.10 Asservissement de position
avec correction tachymétrique
On considère un asservissement de position décrit par le
schéma-bloc à retour unitaire de la figure 5.37.
+ -
C (p)
H (p)
X (p)
Y (p)
Figure 5.34 Schéma-bloc de l’asservissement.
La fonction de transfert H ( p) est de la forme :
H ( p) =
a
(1 + T 1 p)(1 + T 2 p)
.
1. Déterminer la fonction de transfert du correcteur qui
permet d’obtenir une fonction de transfert en boucle fermée de la forme suivante :
FT B F =
1
1 + 2m
p
ω 0
+
p
2
ω 0
2
On exprimera C( p) en fonction de la FTBO non corrigée
H ( p) et des constantes ω 0 et m de la FTBF souhaitée.
2. Choisir C( p) tel que le correcteur ait une forme simple
et que le zéro associé à la constante de temps T 1 , considérée comme gênante, disparaisse.
3. Déterminer complètement le correcteur si le coefficient
d’amortissement recherché pour la FTBF est m = 1
4. On considère la fonction de transfert H ( p) telle que
a = 5, T 1 = 20 s et T 2 = 2 s. Les courbes de réponses indicielles sont représentées figure 5.35 pour les 3 cas suivants :
• sans correction ;
• avec une correction proportionnelle telle que l’erreur statique de position soit limitée à 5 % ;
• avec la correction PI choisie.
Mettre en évidence l’intérêt de la correction PI dans ce cas.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t
Figure 5.35 Réponses indicielles du système.
5.9 Premier ordre à zéro
On considère un système bouclé ayant pour chaîne d’action la fonction de transfert F 1 ( p) = K 1 et pour chaîne de
retour la fonction F 2 ( p) =
K 2
1 + τ 2 p
.
1. Pour ce système :
• Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée
C( p) =
Y ( p)
X ( p)
du système.
• Exprimer la condition de stabilité du système.
+ -
F 1 (p)
F 2 (p)
X (p)
( p)
Y (p)
X R (p)
ε
Figure 5.36 Schéma-bloc du système « Premier ordre à zéro ».
+ -
H (p)
1
p
X (p)
U(p)
V (p)
Y (p)
Figure 5.37 Schéma-bloc de l’asservissement de position.
➤ Étude du système sans correction
On donne la fonction de transfert :
H ( p) =
K
1 + τ p
Pour les applications numériques on donne K = 200 et
τ = 0,025 s.
Ces valeurs numériques sont associées :
• à la réponse indicielle de la figure 5.38 ;
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
y
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
t
Figure 4.33 Réponse indicielle du système non corrigé.
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5.8 Choix d’une correction
On considère un asservissement décrit par le schéma-bloc
à retour unitaire de la figure 5.34.
2. On choisit de prendre les valeurs
K 1 = 8,
K 2 =
7
8
et
τ 2 = 0,1.
• Vérifier que la condition de stabilité est satisfaite.
• Tracer les diagrammes de BODE asymptotiques et réels de
la fonction C( p).
• Peut-on associer cette fonction de transfert à un correcteur particulier ?
Dans l’affirmative, préciser la nature du correcteur et
déterminer ses paramètres caractéristiques.
3. On remarque que prendre un coefficient K 2 négatif
revient à remplacer le soustracteur par un sommateur.
• Effectuer la même analyse qu’à la question précédente
pour les paramètres
K 1 = 1,
K 2 = −
11
12
et
τ 2 = 0,1.
5.10 Asservissement de position
avec correction tachymétrique
On considère un asservissement de position décrit par le
schéma-bloc à retour unitaire de la figure 5.37.
+ -
C (p)
H (p)
X (p)
Y (p)
Figure 5.34 Schéma-bloc de l’asservissement.
La fonction de transfert H ( p) est de la forme :
H ( p) =
a
(1 + T 1 p)(1 + T 2 p)
.
1. Déterminer la fonction de transfert du correcteur qui
permet d’obtenir une fonction de transfert en boucle fermée de la forme suivante :
FT B F =
1
1 + 2m
p
ω 0
+
p
2
ω 0
2
On exprimera C( p) en fonction de la FTBO non corrigée
H ( p) et des constantes ω 0 et m de la FTBF souhaitée.
2. Choisir C( p) tel que le correcteur ait une forme simple
et que le zéro associé à la constante de temps T 1 , considérée comme gênante, disparaisse.
3. Déterminer complètement le correcteur si le coefficient
d’amortissement recherché pour la FTBF est m = 1
4. On considère la fonction de transfert H ( p) telle que
a = 5, T 1 = 20 s et T 2 = 2 s. Les courbes de réponses indicielles sont représentées figure 5.35 pour les 3 cas suivants :
• sans correction ;
• avec une correction proportionnelle telle que l’erreur statique de position soit limitée à 5 % ;
• avec la correction PI choisie.
Mettre en évidence l’intérêt de la correction PI dans ce cas.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t
Figure 5.35 Réponses indicielles du système.
5.9 Premier ordre à zéro
On considère un système bouclé ayant pour chaîne d’action la fonction de transfert F 1 ( p) = K 1 et pour chaîne de
retour la fonction F 2 ( p) =
K 2
1 + τ 2 p
.
1. Pour ce système :
• Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée
C( p) =
Y ( p)
X ( p)
du système.
• Exprimer la condition de stabilité du système.
+ -
F 1 (p)
F 2 (p)
X (p)
( p)
Y (p)
X R (p)
ε
Figure 5.36 Schéma-bloc du système « Premier ordre à zéro ».
+ -
H (p)
1
p
X (p)
U(p)
V (p)
Y (p)
Figure 5.37 Schéma-bloc de l’asservissement de position.
➤ Étude du système sans correction
On donne la fonction de transfert :
H ( p) =
K
1 + τ p
Pour les applications numériques on donne K = 200 et
τ = 0,025 s.
Ces valeurs numériques sont associées :
• à la réponse indicielle de la figure 5.38 ;
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
y
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
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