Chapitre 5 • Performances – Évaluation et amélioration
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ce qui conduit à :
ε = lim
p→0
p.Y c ( p)
1 + F( p)
En mettant la FTBO sous la forme
F( p) =
K (1 + b 1 p + ... + b m p m )
p α
1 + a 1 p + ... + a k p k
il vient :
ε = lim
p→0
p.Y c ( p)
1 +
K
p α
L’écart peut être déterminé pour des entrées types. En particulier, on peut considérer :
• une entrée indicielle y c (t) = a.u(t) (avec u(t) échelon unité), c’est-à-dire une
entrée qui change de valeur ;
• pour une entrée en rampe y c (t) = a.t.u(t), c’est-à-dire une entrée dont la valeur
s’accroît à vitesse constante ;
• pour une entrée parabolique y c (t) = a.
t
2
2
.u(t), c’est-à-dire une entrée dont la
valeur a une vitesse d’accroissement constante.
Dans ces trois cas, la transformée de Laplace de y c (t) peut se mettre sous la forme
Y c ( p) =
a
p β
avec
• β = 1 pour l’entrée en échelon ;
• β = 2 pour l’entrée en rampe ;
• β = 3 pour l’entrée parabolique.
L’écart statique est donc
ε = lim
p→0
a. p
1+α−β
p α + K
Les résultats obtenus pour des entrées unitaires sont résumés dans le tableau suivant.
Certains utilisent le terme « écart
statique » uniquement lorsque l'entrée
est un échelon. Dans le sens où les
auteurs l'entendent,il est indispensable
de préciser quelle est l'entrée associée
à l'écart statique.
Écart statique en BF
= 0
= 1
= 2
pour une entrée en échelon u(t)
1
1 + K
0
0
pour une entrée en rampe t.u (t)
∞
1
K
0
pour une entrée en parabole
t 2
2
.u (t)
∞
∞
1
K
Pour un système de FTBO de classe et de gain K
α
α
α
α
Figure 5.9 Écart statique en BF pour différentes entrées.
On remarque en particulier que :
• l’écart statique pour une entrée en échelon est nul lorsque la FTBO est de classe
supérieure ou égale à 1 (voir figure 5.10) ;
• que l’écart statique pour une entrée en rampe est nul lorsque la FTBO est de classe supérieure ou égale à 2 (voir figure 5.11).
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