5.1 • Performances des systèmes asservis
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Pour la suite de ce cours, on s’intéresse en particulier aux situations où un régime permanent s’établit entre l’entrée et la sortie du système.
Dans ce cas, on peut définir un écart en régime permanent par différence des fonctions
d’entrée et de sortie en régime permanent établi.
Cette fonction temporelle écart en régime permanent peut être constante. Dans ce cas
l’écart en régime permanent peut être qualifié d’écart statique, bien que les entrées et
sorties soient des grandeurs variant temporellement. En effet, on peut avoir
y(t) − y c (t) = cte
avec
y(t) = cte
et
y c (t) = cte
S’il existe, l’écart statique correspond à la limite de l’écart pour un temps infini.
Définition
On appelle écart statique la limite de l’écart pour un temps infini, lorsqu’elle existe :
ε = lim
t→∞
ε(t)
En utilisant la transformée de Laplace et en superposant les résultats pour les systèmes
d’entrée Y c ( p) et de sortie ε( p), d’entrée P( p) et de sortie ε( p), il vient :
ε( p) =
1
1 + F 1 ( p)F 2 ( p)
Y c ( p) +
F 2 ( p)
1 + F 1 ( p)F 2 ( p)
P( p)
En utilisant la FTBO F( p) = F 1 ( p)F 2 ( p) du système, on obtient :
ε( p) =
1
1 + F( p)
Y c ( p) +
F 2 ( p)
1 + F( p)
P( p)
Pour déterminer l’influence des différents paramètres, on calcule l’écart statique
• d’une part pour différentes entrées y c (t) en absence de perturbation,
• d’autre part pour différentes perturbations p(t) en présence d’une entrée constante.
➤ Écart statique en absence de perturbation
L’écart statique est ε = lim
t→+∞
ε(t) pour une entrée y c (t) donnée.
En utilisant le théorème de la valeur initiale et de la valeur finale, on obtient
lim
t→+∞
ε(t) = lim
p→0
p.ε( p)
avec
ε( p) =
1
1 + F( p)
Y c ( p)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
+ -
+
-
F 1 (p)
F 2 (p)
Y c (p)
(p)
Y (p)
P (p)
ε
Figure 5.8 Système asservi perturbé à retour unitaire.
À propos de la précision des systèmes
asservis,deux termes sont utilisés :écart
et erreur. Les auteurs prennent le parti
d’utiliser le terme écart. Le fait qu’une
sortie soit différente d’une consigne
n’est pas lié à une erreur, une faute. On
constate simplement l’existence d’un
écart entre ce que l’on souhaite et ce que
l’on obtient.Cet écart est une grandeur
fonctionnelle.Il diffère d’une erreur,faite
par exemple sur la mesure d’une
grandeur. La consigne demandée en
entrée n’est pas la mesure de la grandeur
obtenue en sortie, mais seulement la
valeur qu’on espère obtenir en sortie.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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Pour la suite de ce cours, on s’intéresse en particulier aux situations où un régime permanent s’établit entre l’entrée et la sortie du système.
Dans ce cas, on peut définir un écart en régime permanent par différence des fonctions
d’entrée et de sortie en régime permanent établi.
Cette fonction temporelle écart en régime permanent peut être constante. Dans ce cas
l’écart en régime permanent peut être qualifié d’écart statique, bien que les entrées et
sorties soient des grandeurs variant temporellement. En effet, on peut avoir
y(t) − y c (t) = cte
avec
y(t) = cte
et
y c (t) = cte
S’il existe, l’écart statique correspond à la limite de l’écart pour un temps infini.
Définition
On appelle écart statique la limite de l’écart pour un temps infini, lorsqu’elle existe :
ε = lim
t→∞
ε(t)
En utilisant la transformée de Laplace et en superposant les résultats pour les systèmes
d’entrée Y c ( p) et de sortie ε( p), d’entrée P( p) et de sortie ε( p), il vient :
ε( p) =
1
1 + F 1 ( p)F 2 ( p)
Y c ( p) +
F 2 ( p)
1 + F 1 ( p)F 2 ( p)
P( p)
En utilisant la FTBO F( p) = F 1 ( p)F 2 ( p) du système, on obtient :
ε( p) =
1
1 + F( p)
Y c ( p) +
F 2 ( p)
1 + F( p)
P( p)
Pour déterminer l’influence des différents paramètres, on calcule l’écart statique
• d’une part pour différentes entrées y c (t) en absence de perturbation,
• d’autre part pour différentes perturbations p(t) en présence d’une entrée constante.
➤ Écart statique en absence de perturbation
L’écart statique est ε = lim
t→+∞
ε(t) pour une entrée y c (t) donnée.
En utilisant le théorème de la valeur initiale et de la valeur finale, on obtient
lim
t→+∞
ε(t) = lim
p→0
p.ε( p)
avec
ε( p) =
1
1 + F( p)
Y c ( p)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
+ -
+
-
F 1 (p)
F 2 (p)
Y c (p)
(p)
Y (p)
P (p)
ε
Figure 5.8 Système asservi perturbé à retour unitaire.
À propos de la précision des systèmes
asservis,deux termes sont utilisés :écart
et erreur. Les auteurs prennent le parti
d’utiliser le terme écart. Le fait qu’une
sortie soit différente d’une consigne
n’est pas lié à une erreur, une faute. On
constate simplement l’existence d’un
écart entre ce que l’on souhaite et ce que
l’on obtient.Cet écart est une grandeur
fonctionnelle.Il diffère d’une erreur,faite
par exemple sur la mesure d’une
grandeur. La consigne demandée en
entrée n’est pas la mesure de la grandeur
obtenue en sortie, mais seulement la
valeur qu’on espère obtenir en sortie.
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