Chapitre 5 • Performances – Évaluation et amélioration
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5.1.1 Marges de stabilité des systèmes asservis
Les systèmes réels ne sont généralement pas des systèmes continus linéaires invariants. Ils présentent des problèmes d’usure mécanique, de vieillissement de composants... Il serait insensé de les classer en deux catégories : les systèmes stables d’une
part, les systèmes instables de l’autre. Un système stable à une date donnée peut avoir
un comportement qui s’altère au fil du temps au point de devenir instable. Un système
stable mais très oscillant a un comportement que l’on essaie souvent d’éviter.
La stabilité intrinsèque d’un système n’est pas suffisante. L’usage est donc de prévoir
une marge de sécurité par rapport à l’état limite de transition « stable-instable ».
Pour un système défini par sa fonction de transfert, son instabilité est liée à l’existence de pôles à partie réelle positive, son trop faible amortissement est lié à des racines
complexes conjuguées trop éloignées de l’axe des réels. Garder une marge de stabilité revient à faire en sorte que ses pôles soient dans une zone limitée du plan complexe,
comme le montre la figure 5.1.
Re
Im
Re
Im
Zones devant contenir les
pˆ oles de la FT
Limite
garantissant
l’amortissement
Limite
gara ntissant
la stabilité
Figure 5.1 Emplacement des pôles d'une FTBF stable amortie.
Pour un système asservi, une autre approche est privilégiée. Pour qu’un système asservi soit stable, sa FTBO doit satisfaire le critère du revers. La marge par rapport à la
limite de stabilité peut donc être évaluée en examinant la position relative de la FTBO
par rapport au point critique. L’éloignement de la FTBO du point critique est quantifié à l’aide de nombreux critères. Ne sont définis ci-après que trois d’entre eux : la
marge de gain, la marge de phase et la marge de module.
Marge de gain, marge de phase
En définissant ces deux marges, on essaie de caractériser l’éloignement du lieu de la
FTBO par rapport au point critique en examinant la position de deux points particuliers de la FTBO. À condition d’être « du bon côté » du point critique, plus cet
éloignement est important, plus la « marge » par rapport à la limite d’instabilité est
grande.
Les marges de gain et de phase se définissent par des distances facilement représentables sur le diagramme de BLACK d’une FTBO qui satisfait au critère du revers. La
figure 5.2 illustre la mise en place de ces marges. On peut ensuite transposer ces résultats aux diagrammes de BODE et de NYQUIST.
Cet éloignement permet aussi de limiter
le facteur de résonance.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Une transposition de la détermination
des marges de gain et de phase sur le
diagramme de NYQUIST est proposée à la
figure 5.5.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La stabilité a été définie et caractérisée
au chapitre précédent.
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5.1.1 Marges de stabilité des systèmes asservis
Les systèmes réels ne sont généralement pas des systèmes continus linéaires invariants. Ils présentent des problèmes d’usure mécanique, de vieillissement de composants... Il serait insensé de les classer en deux catégories : les systèmes stables d’une
part, les systèmes instables de l’autre. Un système stable à une date donnée peut avoir
un comportement qui s’altère au fil du temps au point de devenir instable. Un système
stable mais très oscillant a un comportement que l’on essaie souvent d’éviter.
La stabilité intrinsèque d’un système n’est pas suffisante. L’usage est donc de prévoir
une marge de sécurité par rapport à l’état limite de transition « stable-instable ».
Pour un système défini par sa fonction de transfert, son instabilité est liée à l’existence de pôles à partie réelle positive, son trop faible amortissement est lié à des racines
complexes conjuguées trop éloignées de l’axe des réels. Garder une marge de stabilité revient à faire en sorte que ses pôles soient dans une zone limitée du plan complexe,
comme le montre la figure 5.1.
Re
Im
Re
Im
Zones devant contenir les
pˆ oles de la FT
Limite
garantissant
l’amortissement
Limite
gara ntissant
la stabilité
Figure 5.1 Emplacement des pôles d'une FTBF stable amortie.
Pour un système asservi, une autre approche est privilégiée. Pour qu’un système asservi soit stable, sa FTBO doit satisfaire le critère du revers. La marge par rapport à la
limite de stabilité peut donc être évaluée en examinant la position relative de la FTBO
par rapport au point critique. L’éloignement de la FTBO du point critique est quantifié à l’aide de nombreux critères. Ne sont définis ci-après que trois d’entre eux : la
marge de gain, la marge de phase et la marge de module.
Marge de gain, marge de phase
En définissant ces deux marges, on essaie de caractériser l’éloignement du lieu de la
FTBO par rapport au point critique en examinant la position de deux points particuliers de la FTBO. À condition d’être « du bon côté » du point critique, plus cet
éloignement est important, plus la « marge » par rapport à la limite d’instabilité est
grande.
Les marges de gain et de phase se définissent par des distances facilement représentables sur le diagramme de BLACK d’une FTBO qui satisfait au critère du revers. La
figure 5.2 illustre la mise en place de ces marges. On peut ensuite transposer ces résultats aux diagrammes de BODE et de NYQUIST.
Cet éloignement permet aussi de limiter
le facteur de résonance.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Une transposition de la détermination
des marges de gain et de phase sur le
diagramme de NYQUIST est proposée à la
figure 5.5.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La stabilité a été définie et caractérisée
au chapitre précédent.
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