4. Par la transformée de Laplace, on obtient pour les deux équations
Q( p) = SpX ( p) +
V
B
p P( p)
et Mp
2 X ( p) = S P( p) − F( p)
On arrange ces équations pour écrire
P( p) =
B
pV
Q( p) −
BS
V
X ( p)
et
X ( p) =
1
Mp 2 (S P( p) − F( p))
On peut alors compléter le schéma-bloc proposé
Les applications numériques conduisent finalement à
a 1 = 9,600 10
−4 m
2
a 2 = 1,736 10
−8 s
2
a 3 = −3,472 10
−8 s
2 kg
−1
6. On souhaite appliquer le critère de Routh à la modélisation
actuelle transformant la consigne θ c ( p) en θ( p)
164
+ -
K e
B
Vp
+ -
S
+
-
1
M p 2
K c
B S
V
1
C
C
M d (p)
∆ c(p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
P (p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
ε
θ
5. On transforme localement le schéma-bloc précédent pour sortir l’arrivée de la perturbation de la boucle intérieure
+
+
1
S
B
V p
+ -
S
M p 2
B S
V
Q(p)
X (p)
F (p)
On en déduit
X ( p) =
S
Mp 2
1 +
BS
2
V Mp 2
B
V p
Q( p) −
1
S
F( p)
soit encore, après calcul
X ( p) =
1
Sp
1
1 +
V M
BS 2 p 2
Q( p)
+
−
V
BS 2
1 +
V M
BS 2 p 2
F( p)
Apparaissent sous cette forme les fonctions de transfert H Q ( p)
et H F ( p)
H Q ( p) =
1
Sp
1
1 +
V M
BS 2 p 2
et
H F ( p) =
−
V
BS 2
1 +
V M
BS 2 p 2
Les résultats sont de la forme attendue avec comme coefficients
a 1 = S
a 2 =
V M
BS 2
a 3 = −
V
BS 2
+ -
+
+
CK e
H Q (p)
K c
H F (p)
∆ c (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F(p)
θ
θ
La fonction de transfert en boucle fermée est
H B F ( p) =
C K e K c H Q ( p)
1 + C K e K c H Q ( p)
,
avec H Q ( p) =
1
a 1 p
1 + a 2 p 2
. On en déduit
H B F ( p) =
C K e K c
a 1 p
1 + a 2 p 2
+ C K e K c
Le polynôme caractéristique D( p) de la fonction de transfert
est alors
D( p) = C K e K c + a 1 p + a 1 a 2 p
3
Le coefficient en p
2 est nul, donc la condition nécessaire de stabilité n’est pas satisfaite. Le système est instable en boucle fermée.
La construction du tableau de Routh n’est donc pas nécessaire.
Néanmoins, si on amorce sa construction il vient :
p
3
p
2
p
1
p
0
a 1 a 2
a 1
0
0
C K e K c 0
−
−
−
Le zéro présent dans la première colonne permet de conclure
à l’instabilité du système sans plus de calcul.
7. Sur le diagramme de la figure 4.45, on relève pour différentes
pulsations les coordonnées (ϕ,G d B ) des points à tracer
phase [°] – 113
– 135
– 180
– 225 – 248
gain[dB]
9
14
18
14
9
On complète ensuite le diagramme de Black de la figure 4.65
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
G(dB
)
270
240
210
180
150
120
90
(
o )
ϕ
Figure 4.65 Diagramme de Black de la question 7.
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Q( p) = SpX ( p) +
V
B
p P( p)
et Mp
2 X ( p) = S P( p) − F( p)
On arrange ces équations pour écrire
P( p) =
B
pV
Q( p) −
BS
V
X ( p)
et
X ( p) =
1
Mp 2 (S P( p) − F( p))
On peut alors compléter le schéma-bloc proposé
Les applications numériques conduisent finalement à
a 1 = 9,600 10
−4 m
2
a 2 = 1,736 10
−8 s
2
a 3 = −3,472 10
−8 s
2 kg
−1
6. On souhaite appliquer le critère de Routh à la modélisation
actuelle transformant la consigne θ c ( p) en θ( p)
164
+ -
K e
B
Vp
+ -
S
+
-
1
M p 2
K c
B S
V
1
C
C
M d (p)
∆ c(p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
P (p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
ε
θ
5. On transforme localement le schéma-bloc précédent pour sortir l’arrivée de la perturbation de la boucle intérieure
+
+
1
S
B
V p
+ -
S
M p 2
B S
V
Q(p)
X (p)
F (p)
On en déduit
X ( p) =
S
Mp 2
1 +
BS
2
V Mp 2
B
V p
Q( p) −
1
S
F( p)
soit encore, après calcul
X ( p) =
1
Sp
1
1 +
V M
BS 2 p 2
Q( p)
+
−
V
BS 2
1 +
V M
BS 2 p 2
F( p)
Apparaissent sous cette forme les fonctions de transfert H Q ( p)
et H F ( p)
H Q ( p) =
1
Sp
1
1 +
V M
BS 2 p 2
et
H F ( p) =
−
V
BS 2
1 +
V M
BS 2 p 2
Les résultats sont de la forme attendue avec comme coefficients
a 1 = S
a 2 =
V M
BS 2
a 3 = −
V
BS 2
+ -
+
+
CK e
H Q (p)
K c
H F (p)
∆ c (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F(p)
θ
θ
La fonction de transfert en boucle fermée est
H B F ( p) =
C K e K c H Q ( p)
1 + C K e K c H Q ( p)
,
avec H Q ( p) =
1
a 1 p
1 + a 2 p 2
. On en déduit
H B F ( p) =
C K e K c
a 1 p
1 + a 2 p 2
+ C K e K c
Le polynôme caractéristique D( p) de la fonction de transfert
est alors
D( p) = C K e K c + a 1 p + a 1 a 2 p
3
Le coefficient en p
2 est nul, donc la condition nécessaire de stabilité n’est pas satisfaite. Le système est instable en boucle fermée.
La construction du tableau de Routh n’est donc pas nécessaire.
Néanmoins, si on amorce sa construction il vient :
p
3
p
2
p
1
p
0
a 1 a 2
a 1
0
0
C K e K c 0
−
−
−
Le zéro présent dans la première colonne permet de conclure
à l’instabilité du système sans plus de calcul.
7. Sur le diagramme de la figure 4.45, on relève pour différentes
pulsations les coordonnées (ϕ,G d B ) des points à tracer
phase [°] – 113
– 135
– 180
– 225 – 248
gain[dB]
9
14
18
14
9
On complète ensuite le diagramme de Black de la figure 4.65
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
G(dB
)
270
240
210
180
150
120
90
(
o )
ϕ
Figure 4.65 Diagramme de Black de la question 7.
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