2. Les grandeurs ajoutées se nomment immédiatement :
• position pour X ( p), obtenue par intégration de la vitesse V ( p),
et image de cette position pour M X ( p) ;
• consigne pour X c ( p) , et image de la consigne pour U X ( p).
3. Le correcteur absorbe le gain du capteur et on obtient
comme schéma-bloc
6. Pour déterminer cette fonction de transfert, on se place dans
le cas où X c ( p) = 0
H Z ( p) =
R
AC K + K 2 p + M Rp 2
soit sous forme canonique
H Z ( p) =
R
AC K
1 +
K
2
AC K
p +
M R
AC K
p
2
7. Étant donné que le gain statique de H Z ( p) est
R
AC K , la sortie tend vers
R
AC K Z 0 suite à un échelon de perturbation d’amplitude Z 0 . Avec les valeurs numériques données, on obtient :
R
AC K
Z 0 = 9,4 mm
La performance souhaitée n’est pas atteinte, le système reste
trop sensible aux perturbations.
1. On se place au niveau d’un point de fonctionnement, ce qui
revient à poser θ v (t) = 0. La lecture du schéma-bloc initial
conduit à affirmer que dans ce cas :
• l’angle θ 1 (t) est posé nul également ;
• les mesures m θ v , et im θ v (t) = 0 sont nulles en conséquence.
Finalement, θ 2 (t) = θ(t)et m d (t) = m θ 2 (t) : le schéma bloc
de la figure 4.39 se transforme bien en celui de la figure 4.40.
2. Le schéma bloc comporte un comparateur et six boîtes, ce qui
induit sept équations à considérer. Parmi elles, l’équation du vérin
devient Q( p) = SpX ( p) et on obtient comme schéma-bloc
163
+ -
+
+
ACK
R
R
K 2
p 1 +
MR
K 2 p
X c (p)
(p)
X (p)
Z (p)
ε
4. Fonction de transfert en boucle ouverte F( p)
F( p) =
AC
K
p
1 +
M R
K 2 p
AN :F( p) =
20
p
1 +
p
26.7
Les lieux de Bode présentent les particularités suivantes :
• concernant le diagramme du gain
– une cassure avec passage d’une pente de – 20 dB/décade à
– 40 dB/décade pour la pulsation ω 0 = 26,7 rd/s ;
– un gain pour cette pulsation de – 5,5 dB.
|F( jω 0 )| = 0,53
• concernant le diagramme de phase
– la phase est comprise entre −90 ◦ et −180 ◦ avec le saut de
−90 ◦ pour ω 0 .
10
0
10
1
10
2
10
3
G(dB )
0
50
20
10
0
10
1
10
2
10
3
90
180
ω
ω
ϕ
La phase est supérieure à −180 ◦ pour le point de gain en décibel nul et ne franchit pas le seuil critique de −180 ◦ lors des
pulsations croissantes. Le critère du revers permet d’affirmer
la stabilité du système en boucle fermée.
5. Pour déterminer la fonction de transfert en boucle fermée recherchée, on se place dans le cas où Z ( p) = 0
H X ( p) =
AC K
AC K + K 2 p + M Rp 2
soit sous forme canonique
H X ( p) =
1
1 +
K
2
AC K
p +
M R
AC K
p
2
Cette fonction de transfert est de gain statique égal à l’unité,
ce qui entraîne que la sortie rejoint l’entrée pour une entrée en
échelon.
4.11
+ -
K e
1
S p
K c
1
C
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
θ
ε
θ
+ -
CK e K c
Sp
∆ c (p)
∆ (p)
θ
θ
3. On transforme le schéma-bloc pour le rendre à retour unitaire
La fonction de transfert en boucle fermée s’exprime sous forme
canonique par
H B F ( p) =
1
1 +
S
C K e K c
p
Cette fonction de transfert correspond à un système du 1 er ordre
de constante de temps
τ =
S
C K e K c
Le temps de réponse à 5 % d’un système du 1 er ordre est
T 5 % ≈ 3τ. On en déduit la valeur du gain cherchée
K e =
3S
T 5 % C K c
AN : K e = 6,4 10
−5 m
3 s
−1 A
−1
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:58 Page 163
• position pour X ( p), obtenue par intégration de la vitesse V ( p),
et image de cette position pour M X ( p) ;
• consigne pour X c ( p) , et image de la consigne pour U X ( p).
3. Le correcteur absorbe le gain du capteur et on obtient
comme schéma-bloc
6. Pour déterminer cette fonction de transfert, on se place dans
le cas où X c ( p) = 0
H Z ( p) =
R
AC K + K 2 p + M Rp 2
soit sous forme canonique
H Z ( p) =
R
AC K
1 +
K
2
AC K
p +
M R
AC K
p
2
7. Étant donné que le gain statique de H Z ( p) est
R
AC K , la sortie tend vers
R
AC K Z 0 suite à un échelon de perturbation d’amplitude Z 0 . Avec les valeurs numériques données, on obtient :
R
AC K
Z 0 = 9,4 mm
La performance souhaitée n’est pas atteinte, le système reste
trop sensible aux perturbations.
1. On se place au niveau d’un point de fonctionnement, ce qui
revient à poser θ v (t) = 0. La lecture du schéma-bloc initial
conduit à affirmer que dans ce cas :
• l’angle θ 1 (t) est posé nul également ;
• les mesures m θ v , et im θ v (t) = 0 sont nulles en conséquence.
Finalement, θ 2 (t) = θ(t)et m d (t) = m θ 2 (t) : le schéma bloc
de la figure 4.39 se transforme bien en celui de la figure 4.40.
2. Le schéma bloc comporte un comparateur et six boîtes, ce qui
induit sept équations à considérer. Parmi elles, l’équation du vérin
devient Q( p) = SpX ( p) et on obtient comme schéma-bloc
163
+ -
+
+
ACK
R
R
K 2
p 1 +
MR
K 2 p
X c (p)
(p)
X (p)
Z (p)
ε
4. Fonction de transfert en boucle ouverte F( p)
F( p) =
AC
K
p
1 +
M R
K 2 p
AN :F( p) =
20
p
1 +
p
26.7
Les lieux de Bode présentent les particularités suivantes :
• concernant le diagramme du gain
– une cassure avec passage d’une pente de – 20 dB/décade à
– 40 dB/décade pour la pulsation ω 0 = 26,7 rd/s ;
– un gain pour cette pulsation de – 5,5 dB.
|F( jω 0 )| = 0,53
• concernant le diagramme de phase
– la phase est comprise entre −90 ◦ et −180 ◦ avec le saut de
−90 ◦ pour ω 0 .
10
0
10
1
10
2
10
3
G(dB )
0
50
20
10
0
10
1
10
2
10
3
90
180
ω
ω
ϕ
La phase est supérieure à −180 ◦ pour le point de gain en décibel nul et ne franchit pas le seuil critique de −180 ◦ lors des
pulsations croissantes. Le critère du revers permet d’affirmer
la stabilité du système en boucle fermée.
5. Pour déterminer la fonction de transfert en boucle fermée recherchée, on se place dans le cas où Z ( p) = 0
H X ( p) =
AC K
AC K + K 2 p + M Rp 2
soit sous forme canonique
H X ( p) =
1
1 +
K
2
AC K
p +
M R
AC K
p
2
Cette fonction de transfert est de gain statique égal à l’unité,
ce qui entraîne que la sortie rejoint l’entrée pour une entrée en
échelon.
4.11
+ -
K e
1
S p
K c
1
C
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
θ
ε
θ
+ -
CK e K c
Sp
∆ c (p)
∆ (p)
θ
θ
3. On transforme le schéma-bloc pour le rendre à retour unitaire
La fonction de transfert en boucle fermée s’exprime sous forme
canonique par
H B F ( p) =
1
1 +
S
C K e K c
p
Cette fonction de transfert correspond à un système du 1 er ordre
de constante de temps
τ =
S
C K e K c
Le temps de réponse à 5 % d’un système du 1 er ordre est
T 5 % ≈ 3τ. On en déduit la valeur du gain cherchée
K e =
3S
T 5 % C K c
AN : K e = 6,4 10
−5 m
3 s
−1 A
−1
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:58 Page 163