2. On en déduit que si l’entrée reste bornée, la sortie reste également bornée. Ce système commandé est stable au sens
EBSB.
3. Le tracé des courbes requiert pour le système bouclé une
grande attention :
• avant l’instant initial, toutes les grandeurs ont des valeurs
nulles ;
• à l’instant t = 0, la consigne passe à 1 ;
• sur l’intervalle [0,T ] , la sortie étant de valeur nulle, l’écart
passe également à 1 ;
• à l’instant t = T, la consigne revient à 0 et la sortie passe
à 1 ;
• sur l’intervalle [T,2T ] , la sortie étant passée à 1, l’écart vaut
−1 ;
• à l’instant t = 2T , la consigne passe à 1 et la sortie passe à
−1 ;
• sur l’intervalle [2T,3T ], la sortie étant passée à −1, l’écart
vaut alors +2 ;
• à l’instant t = 3T , la consigne revient à 0 et la sortie passe à
+2 ;
• etc.
La poursuite du raisonnement permet de montrer que la sortie
est oscillante, alors même que l’entrée reste nulle.
• il est de module égal à un, quelle que soit la pulsation du signal d’entrée ;
|e
− jωT | = 1
• sa phase est proportionnelle à la pulsation.
arg
e
− jωT
= −ωT
On peut ainsi tracer le lieu de transfert dans le plan de Black
de la fonction de transfert en boucle ouverte F( jω) = e − jωT
162
t
x (t)
t
(t)
t
y(t)
ε
4. Ce système n’est pas stable au sens EBSB. En effet, il suffit de continuer la consigne en créneaux pour que la sortie
y(t) diverge.
5. L’expression générale de la sortie Y ( p) est
Y ( p) =
F( p)
1 + F( p)
X ( p)
Une condition nécessaire pour obtenir une sortie différente de
zéro pour une entrée nulle est la nullité du dénominateur, soit
F( p) = −1 .
6. En sollicitation harmonique, le système étudié présente les
deux propriétés suivantes :
G[dB ]
0 o
90 o
180 o
270 o
0
=
π
2T
=
π
T
=
3π
2T
ω
ω
ω
ϕ
Le système à retard pur étudié est sollicité par une série de créneaux qui correspond à un signal périodique de période 2T, donc
de pulsation π/T :
• le lieu de la FTBO passe pour cette pulsation sur le point critique ;
• la FTBO satisfait à la condition F( jω) = −1 pour cette pulsation.
Exercices
d’approfondissement
1. On suppose l’ensemble des conditions initiales nulles. Les
transformées de Laplace des quatre équations donnent alors,
en adoptant les notations usuelles :
U ( p)
= R I ( p) + E( p)
E( p)
= K V ( p)
Mp V ( p) = F m ( p) + Z ( p)
F m ( p)
= K I ( p)
Ces quatre équations s’écrivent en conséquence sous forme de
schéma-bloc comme suit
4.10
+ -
+
+
1
R
K
1
Mp
K
U(p)
I (p)
F m (p)
V (p)
Z (p)
E (p)
+
+
K
R
R
K 2 + MRp
U(p)
Z (p)
V (p)
Ce qui donne, après réduction
On obtient en définitive pour les fonctions de transfert F 1 et F 2
F 1 ( p) =
K
R
F 2 ( p) =
R
K 2
1
1 +
M R
K
2 p
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EBSB.
3. Le tracé des courbes requiert pour le système bouclé une
grande attention :
• avant l’instant initial, toutes les grandeurs ont des valeurs
nulles ;
• à l’instant t = 0, la consigne passe à 1 ;
• sur l’intervalle [0,T ] , la sortie étant de valeur nulle, l’écart
passe également à 1 ;
• à l’instant t = T, la consigne revient à 0 et la sortie passe
à 1 ;
• sur l’intervalle [T,2T ] , la sortie étant passée à 1, l’écart vaut
−1 ;
• à l’instant t = 2T , la consigne passe à 1 et la sortie passe à
−1 ;
• sur l’intervalle [2T,3T ], la sortie étant passée à −1, l’écart
vaut alors +2 ;
• à l’instant t = 3T , la consigne revient à 0 et la sortie passe à
+2 ;
• etc.
La poursuite du raisonnement permet de montrer que la sortie
est oscillante, alors même que l’entrée reste nulle.
• il est de module égal à un, quelle que soit la pulsation du signal d’entrée ;
|e
− jωT | = 1
• sa phase est proportionnelle à la pulsation.
arg
e
− jωT
= −ωT
On peut ainsi tracer le lieu de transfert dans le plan de Black
de la fonction de transfert en boucle ouverte F( jω) = e − jωT
162
t
x (t)
t
(t)
t
y(t)
ε
4. Ce système n’est pas stable au sens EBSB. En effet, il suffit de continuer la consigne en créneaux pour que la sortie
y(t) diverge.
5. L’expression générale de la sortie Y ( p) est
Y ( p) =
F( p)
1 + F( p)
X ( p)
Une condition nécessaire pour obtenir une sortie différente de
zéro pour une entrée nulle est la nullité du dénominateur, soit
F( p) = −1 .
6. En sollicitation harmonique, le système étudié présente les
deux propriétés suivantes :
G[dB ]
0 o
90 o
180 o
270 o
0
=
π
2T
=
π
T
=
3π
2T
ω
ω
ω
ϕ
Le système à retard pur étudié est sollicité par une série de créneaux qui correspond à un signal périodique de période 2T, donc
de pulsation π/T :
• le lieu de la FTBO passe pour cette pulsation sur le point critique ;
• la FTBO satisfait à la condition F( jω) = −1 pour cette pulsation.
Exercices
d’approfondissement
1. On suppose l’ensemble des conditions initiales nulles. Les
transformées de Laplace des quatre équations donnent alors,
en adoptant les notations usuelles :
U ( p)
= R I ( p) + E( p)
E( p)
= K V ( p)
Mp V ( p) = F m ( p) + Z ( p)
F m ( p)
= K I ( p)
Ces quatre équations s’écrivent en conséquence sous forme de
schéma-bloc comme suit
4.10
+ -
+
+
1
R
K
1
Mp
K
U(p)
I (p)
F m (p)
V (p)
Z (p)
E (p)
+
+
K
R
R
K 2 + MRp
U(p)
Z (p)
V (p)
Ce qui donne, après réduction
On obtient en définitive pour les fonctions de transfert F 1 et F 2
F 1 ( p) =
K
R
F 2 ( p) =
R
K 2
1
1 +
M R
K
2 p
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