Le dénominateur de la FTBF est τ
2 p
3
+ 2τ p
2
+ p + K. Tous
les coefficients de ce polynôme sont strictement positifs, la condition nécessaire de stabilité est satisfaite. On construit alors le
tableau de Routh :
Le tracé de x(t) admet à l’infini comme asymptote la droite
horizontale d’ordonnée
K
K +1 et un temps de réponse à cinq pour
cent t 5% ≈
3τ
K + 1
.
4. La loi de commande est u(t) = K (1 − x(t)) d’où :
u(t) =
K
1 + K
1 + K e
−
(1+K )t
τ
5. On utilise les résultats de la première question pour écrire
immédiatement
x(t) = K
1 − e
− t
τ
6. Les deux dernière courbes tracées ont la même pente à l’origine, ce qui s’explique par le fait que les deux signaux de commande ont la même valeur à l’instant t = 0 + :
• pour le système commandé, cette commande reste constante
au cours du temps et le système en boucle ouverte a un temps
de réponse t 5% = 3τ ;
• pour le système asservi, c’est la consigne qui est constante.
La commande est quant à elle élaborée à partir de l’écart et
est amplifiée aux instants initiaux. C’est pourquoi le temps
de réponse t 5% =
3τ
K +1 est raccourci. Il est à noter qu’en contrepartie, la sortie n’atteint pas la valeur de la consigne.
161
p
3
2
1
0
p
2
2
0
p
1
1
2
0
p
0
K
τ
τ
τ
K
K
Le système est donc stable en boucle fermée si et seulement
si :
K <
2
τ
1. En s’inspirant du schéma bloc de la figure 4.37, on considère le système d’entrée U ( p) et de sortie X ( p). Dans le domaine symbolique, la réponse du système est donnée par
X ( p) = F( p)U ( p) , avec U ( p) = 1/ p . On décompose cette
réponse en éléments simples pour obtenir :
X ( p) =
1
p
−
τ
1 + τ p
On obtient alors dans le domaine temporel : x(t) = 1 − e
− t
τ
4.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
t
2
3
4
τ
τ
τ
τ
2. Les rapports proposés correspondent respectivement aux fonctions de transfert en boucle ouverte et fermée.
• expression de la FTBO :
X ( p)
ε( p)
=
K
1 + τ p
• expression de la FTBF, que l’on donne ici sous la forme la
plus simple et sous la forme canonique :
X ( p)
X c ( p)
=
K
K + 1 + τ p
=
K
K + 1
1 +
τ
K + 1
p
3. Dans le domaine symbolique X ( p) =
K
p(K + 1 + τ p)
.
On obtient alors :
x(t) =
K
K + 1
1 − e
−
t (K +1)
τ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
x (t) u(t)
t
2
3
4
3
K + 1
x (t) comm and´ e
x (t) asservi
u(t)
τ
τ
τ
τ
τ
1. Pour le système commandé, la sortie y(t) est exactement la
commande u(t) décalée du retard T.
t
u(t)
t
y(t)
4.9
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:58 Page 161
2 p
3
+ 2τ p
2
+ p + K. Tous
les coefficients de ce polynôme sont strictement positifs, la condition nécessaire de stabilité est satisfaite. On construit alors le
tableau de Routh :
Le tracé de x(t) admet à l’infini comme asymptote la droite
horizontale d’ordonnée
K
K +1 et un temps de réponse à cinq pour
cent t 5% ≈
3τ
K + 1
.
4. La loi de commande est u(t) = K (1 − x(t)) d’où :
u(t) =
K
1 + K
1 + K e
−
(1+K )t
τ
5. On utilise les résultats de la première question pour écrire
immédiatement
x(t) = K
1 − e
− t
τ
6. Les deux dernière courbes tracées ont la même pente à l’origine, ce qui s’explique par le fait que les deux signaux de commande ont la même valeur à l’instant t = 0 + :
• pour le système commandé, cette commande reste constante
au cours du temps et le système en boucle ouverte a un temps
de réponse t 5% = 3τ ;
• pour le système asservi, c’est la consigne qui est constante.
La commande est quant à elle élaborée à partir de l’écart et
est amplifiée aux instants initiaux. C’est pourquoi le temps
de réponse t 5% =
3τ
K +1 est raccourci. Il est à noter qu’en contrepartie, la sortie n’atteint pas la valeur de la consigne.
161
p
3
2
1
0
p
2
2
0
p
1
1
2
0
p
0
K
τ
τ
τ
K
K
Le système est donc stable en boucle fermée si et seulement
si :
K <
2
τ
1. En s’inspirant du schéma bloc de la figure 4.37, on considère le système d’entrée U ( p) et de sortie X ( p). Dans le domaine symbolique, la réponse du système est donnée par
X ( p) = F( p)U ( p) , avec U ( p) = 1/ p . On décompose cette
réponse en éléments simples pour obtenir :
X ( p) =
1
p
−
τ
1 + τ p
On obtient alors dans le domaine temporel : x(t) = 1 − e
− t
τ
4.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
t
2
3
4
τ
τ
τ
τ
2. Les rapports proposés correspondent respectivement aux fonctions de transfert en boucle ouverte et fermée.
• expression de la FTBO :
X ( p)
ε( p)
=
K
1 + τ p
• expression de la FTBF, que l’on donne ici sous la forme la
plus simple et sous la forme canonique :
X ( p)
X c ( p)
=
K
K + 1 + τ p
=
K
K + 1
1 +
τ
K + 1
p
3. Dans le domaine symbolique X ( p) =
K
p(K + 1 + τ p)
.
On obtient alors :
x(t) =
K
K + 1
1 − e
−
t (K +1)
τ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
x (t) u(t)
t
2
3
4
3
K + 1
x (t) comm and´ e
x (t) asservi
u(t)
τ
τ
τ
τ
τ
1. Pour le système commandé, la sortie y(t) est exactement la
commande u(t) décalée du retard T.
t
u(t)
t
y(t)
4.9
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:58 Page 161