2. La forme canonique de la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système d’ordre 2 et de classe 0 est
F( p) =
K
1 +
2ξ
ω 0
p +
p
2
ω
2
0
Une des expressions de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système est alors
H ( p) =
K ω
2
0
(1 + K ) ω
2
0 + 2ξω 0 p + p 2
Le tableau de Routh comporte trois lignes
Un changement de signe est possible pour le coefficient A 11 .
Il est nécessaire que le terme (2ξω 0 − K ) reste strictement positif pour la stabilité du système en boucle fermée.
Pour que le système asservi d’ordre 3 et de classe 1 soit stable
en boucle fermée, le gain K de la FTBO doit rester inférieur à
la valeur 2ξω 0
K < 2ξω 0
On illustre les trois cas étudiés en traçant les lieux de transfert
dans le plan de Black
160
p
2
1
( 1+ K )
2
0
p
1
2 0
0
p
0
A 01
ω
ξω
p
3
1
2
0
0
p
2
2 0
2
0
0
p
1
A 11
A 12
p
0
A 01
ω
ξω
ω
K
On calcule la valeur du coefficient A 01
A 01 =
−1
2ξω 0
1
(1 + K ) ω
2
0
2ξω 0
0
= (1 + K ) ω
2
0
Le gain statique K, le coefficient d’amortissement ξ et la pulsation propre du système non amorti ω 0 sont trois paramètres
strictement positifs. Les trois termes de la première colonne du
tableau de Routh restent donc toujours strictement positifs. On
en déduit qu’un système asservi d’ordre 2 et de classe 0 est intrinsèquement stable.
3. La forme canonique de la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système d’ordre 3 et de classe 1 est
F( p) =
K
p
1 +
2ξ
ω 0
p +
p
2
ω
2
0
Une des expressions de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système est alors
H ( p) =
K ω
2
0
K ω
2
0 + ω
2
0 p + 2ξω 0 p 2 + p 3
Le tableau de Routh comporte pour ce système quatre lignes
Il reste à déterminer les expressions des trois coefficients A i j
A 11 =
−1
2ξω 0
1
ω
2
0
2ξω 0 K ω
2
0
= (2ξω 0 − K )
ω 0
2ξ
A 12 = 0
A 01 =
−1
A 11
2ξω 0 K ω
2
0
A 11
0
= K ω
2
0
Gain (dB )
180
o
90
o
0
o
0
20
F 1 ( )
F 2 ( )
F 3 ( )
F31 ( )
jω
jω
jω
jω
ϕ
Figure 4.64 Lieux de transfert dans le plan de Black.
Ces courbes ont été tracées en prenant comme paramètres
– pour le système d’ordre 1 et de classe 0 : K = 10 et τ = 1
F 1 ( p) =
10
1 + p
– pour le système d’ordre 2 et de classe 0 : K = 10, ω 0 = 1 et
ξ = 1
F 2 ( p) =
10
1 + 2 p + p 2
– pour le système d’ordre 3 et de classe 1 : K = 10, ω 0 = 1 et
ξ = 1
F 3 ( p) =
10
p(1 + 2 p + p 2 )
Pour ce dernier cas, la condition de stabilité énoncée précédemment n’est effectivement pas vérifiée, car K > 2ξω 0 ! Il
est nécessaire de diminuer le gain. À titre d’exemple, la FTBO
F 31 ( jω) est tracée avec un gain K = 1, ce qui revient à décaler le lieu de F 3 ( jω) de −20 dB vers le bas. Le critère du revers permet alors de conclure.
La fonction de transfert en boucle ouverte F( p) du système
est :
F( p) =
K
p (1 + τ p)
2
La réduction de la boucle permet d’obtenir la fonction de transfert en boucle fermée H ( p)
H ( p) =
K
p + 2 τ p 2 + τ 2 p 3 + K
4.7
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F( p) =
K
1 +
2ξ
ω 0
p +
p
2
ω
2
0
Une des expressions de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système est alors
H ( p) =
K ω
2
0
(1 + K ) ω
2
0 + 2ξω 0 p + p 2
Le tableau de Routh comporte trois lignes
Un changement de signe est possible pour le coefficient A 11 .
Il est nécessaire que le terme (2ξω 0 − K ) reste strictement positif pour la stabilité du système en boucle fermée.
Pour que le système asservi d’ordre 3 et de classe 1 soit stable
en boucle fermée, le gain K de la FTBO doit rester inférieur à
la valeur 2ξω 0
K < 2ξω 0
On illustre les trois cas étudiés en traçant les lieux de transfert
dans le plan de Black
160
p
2
1
( 1+ K )
2
0
p
1
2 0
0
p
0
A 01
ω
ξω
p
3
1
2
0
0
p
2
2 0
2
0
0
p
1
A 11
A 12
p
0
A 01
ω
ξω
ω
K
On calcule la valeur du coefficient A 01
A 01 =
−1
2ξω 0
1
(1 + K ) ω
2
0
2ξω 0
0
= (1 + K ) ω
2
0
Le gain statique K, le coefficient d’amortissement ξ et la pulsation propre du système non amorti ω 0 sont trois paramètres
strictement positifs. Les trois termes de la première colonne du
tableau de Routh restent donc toujours strictement positifs. On
en déduit qu’un système asservi d’ordre 2 et de classe 0 est intrinsèquement stable.
3. La forme canonique de la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système d’ordre 3 et de classe 1 est
F( p) =
K
p
1 +
2ξ
ω 0
p +
p
2
ω
2
0
Une des expressions de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système est alors
H ( p) =
K ω
2
0
K ω
2
0 + ω
2
0 p + 2ξω 0 p 2 + p 3
Le tableau de Routh comporte pour ce système quatre lignes
Il reste à déterminer les expressions des trois coefficients A i j
A 11 =
−1
2ξω 0
1
ω
2
0
2ξω 0 K ω
2
0
= (2ξω 0 − K )
ω 0
2ξ
A 12 = 0
A 01 =
−1
A 11
2ξω 0 K ω
2
0
A 11
0
= K ω
2
0
Gain (dB )
180
o
90
o
0
o
0
20
F 1 ( )
F 2 ( )
F 3 ( )
F31 ( )
jω
jω
jω
jω
ϕ
Figure 4.64 Lieux de transfert dans le plan de Black.
Ces courbes ont été tracées en prenant comme paramètres
– pour le système d’ordre 1 et de classe 0 : K = 10 et τ = 1
F 1 ( p) =
10
1 + p
– pour le système d’ordre 2 et de classe 0 : K = 10, ω 0 = 1 et
ξ = 1
F 2 ( p) =
10
1 + 2 p + p 2
– pour le système d’ordre 3 et de classe 1 : K = 10, ω 0 = 1 et
ξ = 1
F 3 ( p) =
10
p(1 + 2 p + p 2 )
Pour ce dernier cas, la condition de stabilité énoncée précédemment n’est effectivement pas vérifiée, car K > 2ξω 0 ! Il
est nécessaire de diminuer le gain. À titre d’exemple, la FTBO
F 31 ( jω) est tracée avec un gain K = 1, ce qui revient à décaler le lieu de F 3 ( jω) de −20 dB vers le bas. Le critère du revers permet alors de conclure.
La fonction de transfert en boucle ouverte F( p) du système
est :
F( p) =
K
p (1 + τ p)
2
La réduction de la boucle permet d’obtenir la fonction de transfert en boucle fermée H ( p)
H ( p) =
K
p + 2 τ p 2 + τ 2 p 3 + K
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