2. L’équilibre du pendule par rapport au coulisseau se traduit
par un angle θ constant au cours du temps, et les solutions sont
alors données par l’équation
¨
x(t) = −g tan θ(t)
Cette équation admet comme solutions :
• un angle θ non nul pour un mouvement uniformément accéléré du coulisseau par rapport au bâti ;
• les angles θ = 0 et θ = π pour le coulisseau immobile par
rapport au bâti.
3. L’équation du mouvement (4) n’est pas une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Il est nécessaire
d’étudier chaque cas séparément.
➤ Linéarisation de la loi entrée-sortie autour de la position
θ = 0
Au voisinage de la position θ = 0, on pose les approximations
au premier ordre habituelles
cos θ ≈ 1
sin θ ≈ θ
L’équation différentielle du mouvement est donc approchée par
m R ¨
x(t) = −m R
2 ¨
θ(t) − µ ˙
θ(t) − mg Rθ(t)
On passe dans le domaine symbolique en considérant les
conditions initiales nulles, et on obtient
m Rp
2 X ( p) = −m R
2 p
2 ( p) − µp( p) − mg R( p)
La fonction de transfert du système autour de la position
θ = 0 est donc
F 0 ( p) =
( p)
X ( p)
=
−m Rp
2
mg R + µp + m R 2 p 2
Les coefficients du polynôme du dénominateur sont tous strictement positifs. Le dénominateur étant de degré 2, on peut affirmer sans plus de calcul que cette fonction de transfert correspond à un système stable.
➤ Linéarisation de la loi entrée-sortie autour de la position
θ = π
Au voisinage de la position θ = π, on linéarise l’équation (4)
en approximant les fonctions cos et sin par les fonctions linéaires tangentes
cos θ ≈ −1
sin θ ≈ −(θ − π)
L’équation différentielle du mouvement est donc approchée par
m R ¨
x(t) = m R
2 ¨
θ(t) + µ ˙
θ(t) − mg R (θ(t) − π)
Pour pouvoir appliquer la transformation de Laplace, il est nécessaire de faire un changement de variable et de poser
θ 1 (t) = θ(t) − π. Ainsi, si l’on cherche l’évolution du système
à partir de la position θ(t) = π, la variable θ 1 (t) est telle que
pour t < 0, θ 1 (t) = 0 . On obtient alors
m R ¨
x(t) = m R
2 ¨
θ 1 (t) + µ ˙
θ 1 (t) − mg Rθ 1 (t)
On passe dans le domaine symbolique en considérant les
conditions initiales nulles, et on obtient
m Rp
2 X ( p) = m R
2 p
2 1 ( p) + µp 1 ( p) − mg R 1 ( p)
La fonction de transfert du système autour de la position
θ = π est donc
F π ( p) =
1 ( p)
X ( p)
=
−m Rp
2
mg R − µp − m R 2 p 2
Les coefficients du polynôme du dénominateur ne sont pas tous
positifs, la condition nécessaire de stabilité n’est en conséquence
pas vérifiée. Cette fonction de transfert correspond à un système instable, ce qui est expérimentalement constaté.
1. Pour le système du premier ordre, le tableau de Routh
s’écrit immédiatement
p
1
p
0
τ 0
1 0
Par application du critère de Routh on peut énoncer le théorème suivant :
« Un système du premier ordre est stable si et seulement si sa
constante de temps τ est strictement positive ».
2. Pour le système du second ordre, les deux premières lignes
du tableau de Routh s’écrivent :
p
2
p
1
p
0
1
ω n
2
2ξω n
0
· · ·
On trouve immédiatement que le troisième terme de la colonne
des pivots vaut ω n
2
−1
2ξω n
1
ω n
2
2ξω n
0
= ω n
2
L’application du critère de Routh permet d’énoncer le théorème
suivant :
« Pour qu’un système du second ordre soit stable, il est nécessaire
et suffisant que sa pulsation propre ω n et son coefficient
d’amortissement ξ soient strictement positifs ».
L’ordre et la classe d’un système asservi se détermine à partir
de la fonction de transfert en boucle ouverte F( p)
1. La forme canonique de la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système d’ordre 1 et de classe 0 est
F( p) =
K
1 + τ p
Une des expressions de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système est alors
H ( p) =
K
1 + K + τ p
Le tableau de Routh ne comporte que deux lignes
159
4.5
4.6
p
1
p
0
1 + K
τ
Le gain statique K et la constante de temps τ sont deux paramètres strictement positifs. On en déduit qu’un système asservi
d’ordre 1 et de classe 0 est intrinsèquement stable.
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par un angle θ constant au cours du temps, et les solutions sont
alors données par l’équation
¨
x(t) = −g tan θ(t)
Cette équation admet comme solutions :
• un angle θ non nul pour un mouvement uniformément accéléré du coulisseau par rapport au bâti ;
• les angles θ = 0 et θ = π pour le coulisseau immobile par
rapport au bâti.
3. L’équation du mouvement (4) n’est pas une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Il est nécessaire
d’étudier chaque cas séparément.
➤ Linéarisation de la loi entrée-sortie autour de la position
θ = 0
Au voisinage de la position θ = 0, on pose les approximations
au premier ordre habituelles
cos θ ≈ 1
sin θ ≈ θ
L’équation différentielle du mouvement est donc approchée par
m R ¨
x(t) = −m R
2 ¨
θ(t) − µ ˙
θ(t) − mg Rθ(t)
On passe dans le domaine symbolique en considérant les
conditions initiales nulles, et on obtient
m Rp
2 X ( p) = −m R
2 p
2 ( p) − µp( p) − mg R( p)
La fonction de transfert du système autour de la position
θ = 0 est donc
F 0 ( p) =
( p)
X ( p)
=
−m Rp
2
mg R + µp + m R 2 p 2
Les coefficients du polynôme du dénominateur sont tous strictement positifs. Le dénominateur étant de degré 2, on peut affirmer sans plus de calcul que cette fonction de transfert correspond à un système stable.
➤ Linéarisation de la loi entrée-sortie autour de la position
θ = π
Au voisinage de la position θ = π, on linéarise l’équation (4)
en approximant les fonctions cos et sin par les fonctions linéaires tangentes
cos θ ≈ −1
sin θ ≈ −(θ − π)
L’équation différentielle du mouvement est donc approchée par
m R ¨
x(t) = m R
2 ¨
θ(t) + µ ˙
θ(t) − mg R (θ(t) − π)
Pour pouvoir appliquer la transformation de Laplace, il est nécessaire de faire un changement de variable et de poser
θ 1 (t) = θ(t) − π. Ainsi, si l’on cherche l’évolution du système
à partir de la position θ(t) = π, la variable θ 1 (t) est telle que
pour t < 0, θ 1 (t) = 0 . On obtient alors
m R ¨
x(t) = m R
2 ¨
θ 1 (t) + µ ˙
θ 1 (t) − mg Rθ 1 (t)
On passe dans le domaine symbolique en considérant les
conditions initiales nulles, et on obtient
m Rp
2 X ( p) = m R
2 p
2 1 ( p) + µp 1 ( p) − mg R 1 ( p)
La fonction de transfert du système autour de la position
θ = π est donc
F π ( p) =
1 ( p)
X ( p)
=
−m Rp
2
mg R − µp − m R 2 p 2
Les coefficients du polynôme du dénominateur ne sont pas tous
positifs, la condition nécessaire de stabilité n’est en conséquence
pas vérifiée. Cette fonction de transfert correspond à un système instable, ce qui est expérimentalement constaté.
1. Pour le système du premier ordre, le tableau de Routh
s’écrit immédiatement
p
1
p
0
τ 0
1 0
Par application du critère de Routh on peut énoncer le théorème suivant :
« Un système du premier ordre est stable si et seulement si sa
constante de temps τ est strictement positive ».
2. Pour le système du second ordre, les deux premières lignes
du tableau de Routh s’écrivent :
p
2
p
1
p
0
1
ω n
2
2ξω n
0
· · ·
On trouve immédiatement que le troisième terme de la colonne
des pivots vaut ω n
2
−1
2ξω n
1
ω n
2
2ξω n
0
= ω n
2
L’application du critère de Routh permet d’énoncer le théorème
suivant :
« Pour qu’un système du second ordre soit stable, il est nécessaire
et suffisant que sa pulsation propre ω n et son coefficient
d’amortissement ξ soient strictement positifs ».
L’ordre et la classe d’un système asservi se détermine à partir
de la fonction de transfert en boucle ouverte F( p)
1. La forme canonique de la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système d’ordre 1 et de classe 0 est
F( p) =
K
1 + τ p
Une des expressions de la fonction de transfert en boucle fermée de ce système est alors
H ( p) =
K
1 + K + τ p
Le tableau de Routh ne comporte que deux lignes
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4.6
p
1
p
0
1 + K
τ
Le gain statique K et la constante de temps τ sont deux paramètres strictement positifs. On en déduit qu’un système asservi
d’ordre 1 et de classe 0 est intrinsèquement stable.
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