2. Une simple composition des mouvements permet d’écrire,
suite à la lecture de l’énoncé
α + β = ϕ
Cet angle ϕ correspond à l’angle orientant l’axe des phares par
rapport à l’axe des roues.
3. L’angle ϕ ∗ est dans les faits la consigne pour le système qui
modifie l’angle α en fonction des variations aléatoires de
l’angle β . Ce dernier angle est à considérer comme une perturbation.
On ajoute un bloc adaptateur pour proposer comme schémabloc
F(2 → 3) =
R(2 → 3)
M(A,2 → 3), avec
M(A,2 → 3). z 1 = −µ ˙
θ
On calcule en préliminaire la composante du moment du poids
au point A suivant z 1
M(A, p → 3). z 1 = (−mg
y 1 ∧ R
y 3 ) . z 1
= +mg R
x 1 . y 3
= −mg R sin θ
Le deuxième terme est déjà connu et on obtient en conséquence
M(A, ¯
3 → 3). z 1 = −mg R sin θ − µ ˙
θ
(2)
Quantités d’accélération
La masse du pendule 3 est supposée concentrée en G, le vecteur moment dynamique est dans ce cas nul au centre de
masse.
δ(G,3/1) =
0
La relation de changement de point sur le champ des vecteurs
moment dynamique permet alors d’écrire
δ(A,3/1) = m
A(G,3/1) ∧
− →
G A
Il est nécessaire de calculer le vecteur accélération
A(G,3/1).
On écrit dans ce but le torseur cinématique pour le mouvement
3/1. Il se détermine par composition des mouvements sur la
chaîne ouverte 1 − 2 − 3
V(3/1) = A
˙
θ z 1
˙
x
x 1
On calcule ensuite successivement :
• le vecteur vitesse
V (G,3/1) ;
V (G,3/1) = ˙
x
x 1 + ˙
θ z 1 ∧ (−R
y 3 )
= ˙
x
x 1 + R ˙
θ
x 3
• le vecteur accélération
A(G,3/1) ;
A(G,3/1) =
d
dt
V (G,3/1)
1
= ¨
x
x 1 + R ¨
θ
x 3 + R ˙
θ
2
y 3
• la composante du moment dynamique
δ(A,3/1) suivant z 1
δ(A,3/1). z 1 =
m
¨
x
x 1 + R ¨
θ
x 3 + R ˙
θ
2
y 3
∧ R
y 3
. z 1
= m R
¨
x cos θ + R ¨
θ
(3)
Équation du mouvement
On regroupe les deux résultats (2) et (3) pour détailler l’équation initiale (1)
m R
¨
x cos θ + R ¨
θ
= −mg R sin θ − µ ˙
θ
L’équation différentielle du mouvement du pendule peut être
finalement mise sous la forme
m R ¨
x(t) = −m R
2
¨
θ(t)
cos θ(t)
− µ
˙
θ(t)
cos θ(t)
− mg R tan θ(t) (4)
158
+ -
+
+
K A
C (p)
F (p)
K
K
(p)
U (p)
U(p)
( p)
E (p)
E (p)
(p)
E (p)
Adaptateur
Capteur
Correcteur
Syst` eme
command´ e
Capteur
β
α
ϕ
β
β
α
α
ϕ
ϕ
∗
+ -
+
+
KC (p)F (p)
(p)
(p)
(p)
( p)
(p)
β
α
ϕ
ε
ϕ ∗
La tension E ϕ est la somme des tensions E α et E β , que l’on
compare à la tension U ϕ , image de la consigne ϕ ∗ , pour élaborer la tension de commande U de l’actionneur.
4. On suppose les gains statiques K α , K β et K A identiques, simplement notés K.
On aboutit alors au schéma-bloc à retour unitaire suivant
On a affaire à un système à deux entrées pour une sortie, on
applique en conséquence le principe de superposition pour écrire
ϕ( p) =
K C( p)F( p)
1 + K C( p)F( p)
ϕ
∗ ( p) +
1
1 + K C( p)F( p)
β( p)
1. Pour établir l’équation différentielle régissant le mouvement
du pendule, on considère le système constitué du pendule 3 seul.
Les actions mécaniques extérieures au pendule se résument à :
• l’action de la pesanteur sur le pendule ;
• l’action du coulisseau 2 → 3 relative à la liaison pivot ;
• l’action du coulisseau 2 → 3 engendrée par les frottements visqueux.
Les six équations scalaires résultant de l’application du PFD
au pendule permettent :
• de déterminer les cinq inconnues scalaires de la liaison pivot ;
• d’obtenir une équation de mouvement.
Comme on recherche seulement l’équation de mouvement, on
choisit d’écrire l’équation du moment dynamique au point A
en projection sur z 1 .
δ(A,3/1). z 1 =
M(A, ¯
3 → 3). z 1
(1)
Actions mécaniques
On pose les deux torseurs d’action mécanique concernés
F( p → 3) = G
−mg
y 1
0
4.4
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