8. On utilise le théorème du revers : « Un système est stable
en boucle fermée si, sur un diagramme de BLACK, on laisse le
point critique sur la droite lorsque l’on parcourt le lieu de sa
FTBO dans le sens des pulsations croissantes. »
Pour cette FTBO, on laisse le point critique (– 180°, 0 dB) sur
la gauche. Le système en boucle fermée est donc instable.
On a ici H B O ( p) = C K e K c H Q ( p) soit
H B O ( p) =
C K e K c
a 1 p
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
1
ω
2
Q
p 2
On constate qu’il y a résonance compte tenu de la présence de
pôles complexes conjugués avec ξ Q <
√
2
2
.
Pour un second ordre, le coefficient de surtension est
Q d B = 20 log
1
2ξ Q
1 − ξ
2
Q
Pour la valeur ξ Q = 0,0001, on obtient un coefficient de surtension Q d B = 74 dB. Pour revenir à la limite de la stabilité,
il faut que le lieu de la FTBO passe sous le point critique. Il
faut donc que le pic de la FTBO baisse au moins de 18 dB ce
qui conduit à un coefficient de surtension maximal de 56 dB.
On calcule alors comme condition sur le coefficient d’amortissement
ξ Q > 0,0008
9. On considère la FTBO H B O1 ( p)
H B O1 ( p) =
C K e K c
a 1 p
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
1
ω
2
Q
p 2
Cette fonction a un pôle nul et deux pôles complexes conjugués. Le pôle dominant est le pôle le plus proche de l’axe imaginaire, c’est-à-dire le pôle nul. Pour la suite, il convient de
prendre
H B O2 ( p) =
C K e K c
a 1 p
L’écart à la sortie du comparateur est caractérisé par
ε( p) =
1
1 + H B O2 ( p)
θ c ( p)
On utilise le théorème de la valeur initiale et de la valeur finale, avec θ c ( p) =
1
p 2 pour une entrée en rampe de pente
unitaire
lim
t→+∞
ε(t) = lim
p→0
pε( p) = lim
p→0
p
1
p 2 (1 + H B O2 ( p))
L’écart en poursuite vaut donc
ε P =
a 1
C K e K c
AN : ε P = 0,0833
La rampe est de pente unitaire, donc le retard de la réponse en
poursuite est de t = 0,0833s.
La bande passante à 0 dB de la FTBO est obtenue par la relation
|H B O2 ( jω 0d B )| =
C K e K c
a 1 ω 0d B
= 1
On en déduit
ω 0d B =
C K e K c
a 1
AN : ω 0d B = 12 rad s
−1
10. On choisit de tracer sur la figure 4.66 les diagrammes de
Bode asymptotiques de la fonction de transfert
H B O2 ( p) =
C K e K c
a 1 p 2
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
1
ω
2
Q
p 2
• pour ω tendant vers 0, la phase tend vers – 180° et le gain présente une pente de – 40 dB/décade ;
• pour ω = 1 rad.s –1 , l’asymptote du diagramme du gain passe
par le point de gain 20 log
C K e K c
a 1
= 21,6 dB ;
• les diagrammes présentent une cassure pour ω Q : la phase diminue de 180° tandis que l’asymptote du gain passe à une pente
de – 80 dB/décade.
Le diagramme réel de phase venant approcher l’asymptote à
– 180° par le dessous, le système est instable en boucle fermée.
Sur le diagramme de Black de cette fonction, le critère du revers n’est pas respecté. Le calcul de la marge de phase conduit
à une valeur proche de zéro mais par valeur négative.
165
11. Pour la pulsation ω = 12 rad.s −1 , le gain de la FTBO est égal
à – 21 dB. Pour que cette pulsation soit la limite de la bande passante à 0 dB, il faut utiliser un gain de (K AV ) d B = 21 dB soit
K AV = 11,2
12. Comme pour ω 0 dB = 12 rad.s −1 la phase de la FTBO a
comme valeur – 180°, le correcteur doit augmenter la phase de
la FTBO de 50° pour cette pulsation.
Le correcteur doit donc être tel que sin (50 ◦ ) =
1 − a
1 + a
, ce qui
conduit à
a =
1 − sin (50 ◦ )
1 + sin (50 ◦ )
= 0,1325
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
G(dB )
20
0
50
100
150
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
180
o
270
o
360
o
ω
ω
ϕ
Figure 4.66 Diagrammes asymptotiques de la FTBO
avec un intégrateur.
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en boucle fermée si, sur un diagramme de BLACK, on laisse le
point critique sur la droite lorsque l’on parcourt le lieu de sa
FTBO dans le sens des pulsations croissantes. »
Pour cette FTBO, on laisse le point critique (– 180°, 0 dB) sur
la gauche. Le système en boucle fermée est donc instable.
On a ici H B O ( p) = C K e K c H Q ( p) soit
H B O ( p) =
C K e K c
a 1 p
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
1
ω
2
Q
p 2
On constate qu’il y a résonance compte tenu de la présence de
pôles complexes conjugués avec ξ Q <
√
2
2
.
Pour un second ordre, le coefficient de surtension est
Q d B = 20 log
1
2ξ Q
1 − ξ
2
Q
Pour la valeur ξ Q = 0,0001, on obtient un coefficient de surtension Q d B = 74 dB. Pour revenir à la limite de la stabilité,
il faut que le lieu de la FTBO passe sous le point critique. Il
faut donc que le pic de la FTBO baisse au moins de 18 dB ce
qui conduit à un coefficient de surtension maximal de 56 dB.
On calcule alors comme condition sur le coefficient d’amortissement
ξ Q > 0,0008
9. On considère la FTBO H B O1 ( p)
H B O1 ( p) =
C K e K c
a 1 p
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
1
ω
2
Q
p 2
Cette fonction a un pôle nul et deux pôles complexes conjugués. Le pôle dominant est le pôle le plus proche de l’axe imaginaire, c’est-à-dire le pôle nul. Pour la suite, il convient de
prendre
H B O2 ( p) =
C K e K c
a 1 p
L’écart à la sortie du comparateur est caractérisé par
ε( p) =
1
1 + H B O2 ( p)
θ c ( p)
On utilise le théorème de la valeur initiale et de la valeur finale, avec θ c ( p) =
1
p 2 pour une entrée en rampe de pente
unitaire
lim
t→+∞
ε(t) = lim
p→0
pε( p) = lim
p→0
p
1
p 2 (1 + H B O2 ( p))
L’écart en poursuite vaut donc
ε P =
a 1
C K e K c
AN : ε P = 0,0833
La rampe est de pente unitaire, donc le retard de la réponse en
poursuite est de t = 0,0833s.
La bande passante à 0 dB de la FTBO est obtenue par la relation
|H B O2 ( jω 0d B )| =
C K e K c
a 1 ω 0d B
= 1
On en déduit
ω 0d B =
C K e K c
a 1
AN : ω 0d B = 12 rad s
−1
10. On choisit de tracer sur la figure 4.66 les diagrammes de
Bode asymptotiques de la fonction de transfert
H B O2 ( p) =
C K e K c
a 1 p 2
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
1
ω
2
Q
p 2
• pour ω tendant vers 0, la phase tend vers – 180° et le gain présente une pente de – 40 dB/décade ;
• pour ω = 1 rad.s –1 , l’asymptote du diagramme du gain passe
par le point de gain 20 log
C K e K c
a 1
= 21,6 dB ;
• les diagrammes présentent une cassure pour ω Q : la phase diminue de 180° tandis que l’asymptote du gain passe à une pente
de – 80 dB/décade.
Le diagramme réel de phase venant approcher l’asymptote à
– 180° par le dessous, le système est instable en boucle fermée.
Sur le diagramme de Black de cette fonction, le critère du revers n’est pas respecté. Le calcul de la marge de phase conduit
à une valeur proche de zéro mais par valeur négative.
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11. Pour la pulsation ω = 12 rad.s −1 , le gain de la FTBO est égal
à – 21 dB. Pour que cette pulsation soit la limite de la bande passante à 0 dB, il faut utiliser un gain de (K AV ) d B = 21 dB soit
K AV = 11,2
12. Comme pour ω 0 dB = 12 rad.s −1 la phase de la FTBO a
comme valeur – 180°, le correcteur doit augmenter la phase de
la FTBO de 50° pour cette pulsation.
Le correcteur doit donc être tel que sin (50 ◦ ) =
1 − a
1 + a
, ce qui
conduit à
a =
1 − sin (50 ◦ )
1 + sin (50 ◦ )
= 0,1325
10
0
10
1
10
2
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3
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4
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G(dB )
20
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10
4
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5
180
o
270
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360
o
ω
ω
ϕ
Figure 4.66 Diagrammes asymptotiques de la FTBO
avec un intégrateur.
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