Exercices d’approfondissement
151
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1.
• Expliquer en quoi cet asservissement de courant est équivalent à un asservissement de couple.
• Donner la valeur de réglage du gain d’adaptation K a .
Cette boucle de courant relève du cahier des charges suivant :
• pour la fidélité de la restitution des sensations à l’opérateur, le système doit être précis et rapide ;
• pour le confort de l’opérateur, la réponse indicielle ne
doit pas présenter de dépassement de la valeur finale ;
• le courant absorbé par le moteur doit rester dans tous les
cas inférieur au courant maximal admissible
i max = 23 A ;
• la tension de sortie v s de l’amplificateur de puissance est
limitée à 30 V.
Une simulation a permis de tracer les courbes représentant
les évolutions temporelles suivantes :
• celle du courant i(t) absorbé par le moteur lorsque le
courant de consigne i c (t) est un échelon d’amplitude
14,3 A. Cette valeur correspond à une consigne de couple
de 1 Nm.
• celle de la tension v s (t) pour la même consigne.
Ces courbes sont données en fin de sujet sur la figure 4.56
pour les valeurs suivantes de réglage d’un correcteur proportionnel et intégral :
• gain du correcteur K c = {1; 1, 4; 2} ;
• constante de temps d’intégration, en s,
T i = {0,001; 0,003; 0,005}.
2. Indiquer, en le justifiant, le choix du couple de valeurs
(K c , T i ) à retenir pour satisfaire le cahier des charges précédemment énoncé. La synthèse des arguments pourra
prendre la forme d’un tableau comparatif.
Fonction « Coupler le bras maître et le système virtuel »
Le modèle continu n°2 de la figure 4.54 est le modèle
d’étude obtenu à partir du modèle précédent en substituant
globalement les transmittances G 1 ( p) et G 2 ( p) à la
« boucle de courant » et à la « boucle moteur ».
L’interface de couplage permet au système virtuel de
reproduire les mouvements du bras maître et de lui transmettre en retour une image des résistances mécaniques virtuelles rencontrées. Cette interface est caractérisée à ce
niveau de description par les deux fonctions de transfert de
couplage
C c ( p)
Q( p)
et
C v ( p)
Q( p)
avec
C c ( p)
Q( p)
= − (b m p + k m )
et
C v ( p)
Q( p)
= + (b v p + k v )
Les paramètres b m , b v , k m , k v constituent les paramètres
de réglage de l’interface.
On admet pour cette étude que le comportement de l’axe
du système virtuel est modélisé par la fonction de transfert
H v ( p).
Les expressions des fonctions de transfert G 1 ( p), G 2 ( p)
et H v ( p) retenues sont
G 1 ( p) =
18
p
1 + 1,8 10 −3 p + 1,2 10 −6 p 2
K a
K ia
C (p)
ori
K i
K h
H (p)
m1
H (p)
m2
K
K
H (p)
1
I (p)
c
c (p)
V (p)
r
V (p)
s
« Boucle moteur »
« Boucle de courant »
+
-
+
-
+
+
C (p)
c
C (p)
op
C (p)
m1
I(p)
(p)
V (p)
c
Ω m (p)
C(p)
Q (p)
1
ε
ε ω
Figure 4.53 Modèle continu n°1 – « Axe du bras maître ».
v s (t) = e(t) + Ri(t) + L
di(t)
dt
e(t) = K ω m (t)
c m1 (t) + c op (t) − f ω m (t) = J
dω m (t)
dt
c m1 (t) = K i(t)
Figure 4.52 Équations du moteur à courant continu.
C (p)
op
Q (p)
1
G (p)
1
G (p)
2
+
+
- (b p + k )
m
m
+ (b p + k )
v
v
Q (p)
v
C (p)
c
C (p)
v
+
-
Hv(p)
Interface de couplage
Bras maître
Système virtuel
Figure 4.33 Modèle continu n°2 –
« Bras maître, Interface de couplage et Système virtuel ».
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1.
• Expliquer en quoi cet asservissement de courant est équivalent à un asservissement de couple.
• Donner la valeur de réglage du gain d’adaptation K a .
Cette boucle de courant relève du cahier des charges suivant :
• pour la fidélité de la restitution des sensations à l’opérateur, le système doit être précis et rapide ;
• pour le confort de l’opérateur, la réponse indicielle ne
doit pas présenter de dépassement de la valeur finale ;
• le courant absorbé par le moteur doit rester dans tous les
cas inférieur au courant maximal admissible
i max = 23 A ;
• la tension de sortie v s de l’amplificateur de puissance est
limitée à 30 V.
Une simulation a permis de tracer les courbes représentant
les évolutions temporelles suivantes :
• celle du courant i(t) absorbé par le moteur lorsque le
courant de consigne i c (t) est un échelon d’amplitude
14,3 A. Cette valeur correspond à une consigne de couple
de 1 Nm.
• celle de la tension v s (t) pour la même consigne.
Ces courbes sont données en fin de sujet sur la figure 4.56
pour les valeurs suivantes de réglage d’un correcteur proportionnel et intégral :
• gain du correcteur K c = {1; 1, 4; 2} ;
• constante de temps d’intégration, en s,
T i = {0,001; 0,003; 0,005}.
2. Indiquer, en le justifiant, le choix du couple de valeurs
(K c , T i ) à retenir pour satisfaire le cahier des charges précédemment énoncé. La synthèse des arguments pourra
prendre la forme d’un tableau comparatif.
Fonction « Coupler le bras maître et le système virtuel »
Le modèle continu n°2 de la figure 4.54 est le modèle
d’étude obtenu à partir du modèle précédent en substituant
globalement les transmittances G 1 ( p) et G 2 ( p) à la
« boucle de courant » et à la « boucle moteur ».
L’interface de couplage permet au système virtuel de
reproduire les mouvements du bras maître et de lui transmettre en retour une image des résistances mécaniques virtuelles rencontrées. Cette interface est caractérisée à ce
niveau de description par les deux fonctions de transfert de
couplage
C c ( p)
Q( p)
et
C v ( p)
Q( p)
avec
C c ( p)
Q( p)
= − (b m p + k m )
et
C v ( p)
Q( p)
= + (b v p + k v )
Les paramètres b m , b v , k m , k v constituent les paramètres
de réglage de l’interface.
On admet pour cette étude que le comportement de l’axe
du système virtuel est modélisé par la fonction de transfert
H v ( p).
Les expressions des fonctions de transfert G 1 ( p), G 2 ( p)
et H v ( p) retenues sont
G 1 ( p) =
18
p
1 + 1,8 10 −3 p + 1,2 10 −6 p 2
K a
K ia
C (p)
ori
K i
K h
H (p)
m1
H (p)
m2
K
K
H (p)
1
I (p)
c
c (p)
V (p)
r
V (p)
s
« Boucle moteur »
« Boucle de courant »
+
-
+
-
+
+
C (p)
c
C (p)
op
C (p)
m1
I(p)
(p)
V (p)
c
Ω m (p)
C(p)
Q (p)
1
ε
ε ω
Figure 4.53 Modèle continu n°1 – « Axe du bras maître ».
v s (t) = e(t) + Ri(t) + L
di(t)
dt
e(t) = K ω m (t)
c m1 (t) + c op (t) − f ω m (t) = J
dω m (t)
dt
c m1 (t) = K i(t)
Figure 4.52 Équations du moteur à courant continu.
C (p)
op
Q (p)
1
G (p)
1
G (p)
2
+
+
- (b p + k )
m
m
+ (b p + k )
v
v
Q (p)
v
C (p)
c
C (p)
v
+
-
Hv(p)
Interface de couplage
Bras maître
Système virtuel
Figure 4.33 Modèle continu n°2 –
« Bras maître, Interface de couplage et Système virtuel ».
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