Exercices d’approfondissement
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7. En prenant trois ou quatre valeurs sur l’agrandissement
de ce diagramme autour du pic de résonance représenté sur
la figure 4.45, compléter le diagramme de Black correspondant de la figure 4.46.
doit donc en permanence ajuster la valeur du déphasage.
L’étude de ce type de comportement nécessite l’étude de la
réponse en poursuite du système asservi, c’est-à-dire la
réponse temporelle à une rampe unitaire.
9. À partir du modèle précédent, en conservant
ξ Q = 0,0001, préciser le mode dominant de la fonction de
transfert en boucle ouverte et proposer la fonction de transfert en boucle ouverte H B02 ( p) correspondante.
En ne considérant que ce mode dominant, déterminer
l’écart et le retard de la réponse en poursuite du système.
Déterminer la bande passante à 0 d B de ce modèle.
➤ Premier modèle de correcteur
Pour annuler l’écart en poursuite, on introduit un intégrateur après le comparateur, comme le montre la figure 4.47
10
0
10
20
Gain
(dB )
7580
7590
7600
7610
7620
270
240
210
180
150
120
90
Phase
(
o
)
7580
7590
7600
7610
7620
ω
ω
Figure 4.45 Diagrammes de Bode de la fonction H B O1
(zoom).
+ -
+
+
1
p
H Q (p)
C
H F (p)
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
ε
θ
Figure 4.47 Système corrigé par un intégrateur.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
G(dB
)
270
240
210
180
150
120
90
(
o )
ϕ
Figure 4.46 Diagramme de Black de la fonction H B O1 .
8. Discuter de la stabilité du système en énonçant précisément le théorème utilisé. Déterminer la valeur limite du
coefficient d’amortissement ξ Q qui stabilise le comportement du système.
e) Optimisation du comportement du système
Pour toutes les phases d’accélération et de décélération du
véhicule, le régime moteur n’est pas constant. Le système
10. Tracer le diagramme asymptotique de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte H B02 ( p) telle que
M d ( p) = H B O2 ( p)U c ( p) du système corrigé par un intégrateur. Discuter la stabilité du système obtenu. En particulier, précisez la valeur de la marge de phase, c’est-à-dire
la valeur de M ϕ = Arg (H B O2 ( jω 0 d B )) + 180 ◦ , ω 0 d B
étant la pulsation pour laquelle le gain de la FTBO
H B O2 ( p) est 0 db.
➤ Second modèle de correcteur
On souhaite obtenir une marge de phase de 50°. Pour cela,
on introduit un correcteur à avance de phase, de fonction de
transfert H AV ( p). Il est positionné sur la figure 4.48.
H AV ( p) = K AV
1 + τ AV p
1 + a τ AV p
avec
0 < a < 1
11. On considère que deux systèmes ont une dynamique
équivalente s’ils ont la même bande passante à 0 dB.
En faisant référence aux diagrammes de Bode de la figure
4.44, déterminer graphiquement la valeur du gain du correcteur K AV qui permet de récupérer la dynamique
qu’avait le système avant l’insertion de l’intégrateur.
+ -
+
+
1
p
H AV (p)
H Q (p)
C
H F (p)
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
ε
θ
θ
Figure 4.48 Système corrigé par un intégrateur et un correcteur à avance de phase.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7. En prenant trois ou quatre valeurs sur l’agrandissement
de ce diagramme autour du pic de résonance représenté sur
la figure 4.45, compléter le diagramme de Black correspondant de la figure 4.46.
doit donc en permanence ajuster la valeur du déphasage.
L’étude de ce type de comportement nécessite l’étude de la
réponse en poursuite du système asservi, c’est-à-dire la
réponse temporelle à une rampe unitaire.
9. À partir du modèle précédent, en conservant
ξ Q = 0,0001, préciser le mode dominant de la fonction de
transfert en boucle ouverte et proposer la fonction de transfert en boucle ouverte H B02 ( p) correspondante.
En ne considérant que ce mode dominant, déterminer
l’écart et le retard de la réponse en poursuite du système.
Déterminer la bande passante à 0 d B de ce modèle.
➤ Premier modèle de correcteur
Pour annuler l’écart en poursuite, on introduit un intégrateur après le comparateur, comme le montre la figure 4.47
10
0
10
20
Gain
(dB )
7580
7590
7600
7610
7620
270
240
210
180
150
120
90
Phase
(
o
)
7580
7590
7600
7610
7620
ω
ω
Figure 4.45 Diagrammes de Bode de la fonction H B O1
(zoom).
+ -
+
+
1
p
H Q (p)
C
H F (p)
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
ε
θ
Figure 4.47 Système corrigé par un intégrateur.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
G(dB
)
270
240
210
180
150
120
90
(
o )
ϕ
Figure 4.46 Diagramme de Black de la fonction H B O1 .
8. Discuter de la stabilité du système en énonçant précisément le théorème utilisé. Déterminer la valeur limite du
coefficient d’amortissement ξ Q qui stabilise le comportement du système.
e) Optimisation du comportement du système
Pour toutes les phases d’accélération et de décélération du
véhicule, le régime moteur n’est pas constant. Le système
10. Tracer le diagramme asymptotique de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte H B02 ( p) telle que
M d ( p) = H B O2 ( p)U c ( p) du système corrigé par un intégrateur. Discuter la stabilité du système obtenu. En particulier, précisez la valeur de la marge de phase, c’est-à-dire
la valeur de M ϕ = Arg (H B O2 ( jω 0 d B )) + 180 ◦ , ω 0 d B
étant la pulsation pour laquelle le gain de la FTBO
H B O2 ( p) est 0 db.
➤ Second modèle de correcteur
On souhaite obtenir une marge de phase de 50°. Pour cela,
on introduit un correcteur à avance de phase, de fonction de
transfert H AV ( p). Il est positionné sur la figure 4.48.
H AV ( p) = K AV
1 + τ AV p
1 + a τ AV p
avec
0 < a < 1
11. On considère que deux systèmes ont une dynamique
équivalente s’ils ont la même bande passante à 0 dB.
En faisant référence aux diagrammes de Bode de la figure
4.44, déterminer graphiquement la valeur du gain du correcteur K AV qui permet de récupérer la dynamique
qu’avait le système avant l’insertion de l’intégrateur.
+ -
+
+
1
p
H AV (p)
H Q (p)
C
H F (p)
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
ε
θ
θ
Figure 4.48 Système corrigé par un intégrateur et un correcteur à avance de phase.
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