Chapitre 4 • Systèmes asservis – Stabilité des sytèmes
148
Les fuites ne sont pas introduites dans cette modélisation,
leur influence sur le comportement ne sera abordée que
dans la partie suivante.
4. Après avoir appliqué la transformée de Laplace aux différentes équations, compléter le schéma-bloc de la figure
4.42.
5. Déterminer les fonctions de transfert H Q ( p) et H F ( p)
qui relient Q( p) et F( p) à X (P) sur la figure 4.43 de la
façon suivante
X ( p) = H Q ( p)Q( p) + H F ( p)F( p)
Modifier leurs expressions afin d’obtenir comme formes
canoniques
H Q ( p) =
1
a 1 p
1
1 + a 2 p 2
et
H F ( p) =
a 3
1 + a 2 p 2
Préciser les expressions littérales et calculer les valeurs
numériques des coefficients a 1 , a 2 et a 3 en donnant 4
chiffres significatifs.
Le schéma de la figure 4.42 peut donc être transformé sous
la forme de la figure 4.43.
6. Appliquer le critère de Routh à la modélisation actuelle.
Conclure.
d) Étude de l’influence des fuites hydrauliques
Il existe plusieurs façons de rendre le système stable. Il est
possible en particulier d’introduire artificiellement un
débit de fuite au niveau du vérin. On constate en effet que
le débit dû aux fuites internes est insuffisant pour stabiliser
le comportement dynamique du système. L’introduction de
ce débit de fuite dans les équations traduisant le comportement du vérin conduit à la présence d’un coefficient
d’amortissement ξ Q dans la fonction de transfert H Q ( p).
On pose alors
H Q ( p) =
1
a 1 p
1
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
p
2
ω
2
Q
avec a 2 =
1
ω
2
Q
En prenant ξ Q = 0.0001, on obtient le diagramme de
Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte
H B O1 ( p) présenté sur la figure 4.44.
+ -
+ -
+
-
1
C
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
P (p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
θ
ε
Figure 4.42 Schéma-bloc avec fluide compressible.
+ -
+
+
1
H Q (p)
C
H F (p)
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
ε
θ
Figure 4.43 Schéma-bloc avec fluide compressible transformé.
140
120
100
80
60
40
20
0
20
40
Gain
(dB )
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
270
240
210
180
150
120
90
Phase
(
o
)
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
ω
ω
Figure 4.44 Diagrammes de Bode de la fonction H B O1 .
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Les fuites ne sont pas introduites dans cette modélisation,
leur influence sur le comportement ne sera abordée que
dans la partie suivante.
4. Après avoir appliqué la transformée de Laplace aux différentes équations, compléter le schéma-bloc de la figure
4.42.
5. Déterminer les fonctions de transfert H Q ( p) et H F ( p)
qui relient Q( p) et F( p) à X (P) sur la figure 4.43 de la
façon suivante
X ( p) = H Q ( p)Q( p) + H F ( p)F( p)
Modifier leurs expressions afin d’obtenir comme formes
canoniques
H Q ( p) =
1
a 1 p
1
1 + a 2 p 2
et
H F ( p) =
a 3
1 + a 2 p 2
Préciser les expressions littérales et calculer les valeurs
numériques des coefficients a 1 , a 2 et a 3 en donnant 4
chiffres significatifs.
Le schéma de la figure 4.42 peut donc être transformé sous
la forme de la figure 4.43.
6. Appliquer le critère de Routh à la modélisation actuelle.
Conclure.
d) Étude de l’influence des fuites hydrauliques
Il existe plusieurs façons de rendre le système stable. Il est
possible en particulier d’introduire artificiellement un
débit de fuite au niveau du vérin. On constate en effet que
le débit dû aux fuites internes est insuffisant pour stabiliser
le comportement dynamique du système. L’introduction de
ce débit de fuite dans les équations traduisant le comportement du vérin conduit à la présence d’un coefficient
d’amortissement ξ Q dans la fonction de transfert H Q ( p).
On pose alors
H Q ( p) =
1
a 1 p
1
1 +
2ξ Q
ω Q
p +
p
2
ω
2
Q
avec a 2 =
1
ω
2
Q
En prenant ξ Q = 0.0001, on obtient le diagramme de
Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte
H B O1 ( p) présenté sur la figure 4.44.
+ -
+ -
+
-
1
C
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
P (p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
θ
ε
Figure 4.42 Schéma-bloc avec fluide compressible.
+ -
+
+
1
H Q (p)
C
H F (p)
C
M d (p)
∆ c (p)
Uc (p)
(p)
I (p)
Q(p)
X (p)
∆ (p)
F (p)
θ
ε
θ
Figure 4.43 Schéma-bloc avec fluide compressible transformé.
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Phase
(
o
)
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5
ω
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Figure 4.44 Diagrammes de Bode de la fonction H B O1 .
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