Chapitre 4 • Systèmes asservis – Stabilité des sytèmes
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• un écart sur la sortie inférieur à 0,5 mm lors d’un effort
perturbateur de 0,1 N.
2. Détailler les grandeurs physiques ajoutées.
3. Transformer ce schéma-bloc pour obtenir un retour unitaire.
4. Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte
F( p) et tracer les lieux de BODE asymptotiques.
Peut-on conclure quant à la stabilité ?
5. Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée
H X ( p) permettant d’étudier le suivi de consigne.
Quel est l’écart en régime permanent entre la sortie et la
consigne ?
6. Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée
H Z ( p) permettant d’étudier l’influence d’une perturbation.
7. Quelle est l’influence d’un échelon de force perturbatrice d’amplitude Z 0 sur la position de l’équipage ?
Conclure quant à la performance souhaitée.
4.11 Système de distribution à calage variable pour
moteur 4 temps (d’après Banque PT SIA 2008)
Les véhicules automobiles utilisent généralement l’énergie
fournie par un moteur à explosion. Ces moteurs fonctionnent majoritairement suivant un cycle à quatre temps. Ces
quatre temps correspondent à deux aller-retour d’un piston
dans un cylindre et un cycle complet se décompose comme
suit :
• la phase d’admission, pendant laquelle le volume de la
chambre croît, laissant pénétrer le combustible et l’air ;
• la phase de compression ;
• la phase d’explosion, 2 e aller du piston, seule phase
motrice d’un tel cycle ;
• la phase d’échappement, 2 e retour du piston, pendant
laquelle les gaz brulés sont poussés vers l’échappement.
Pendant ces différentes phases, les orifices qui communiquent avec l’extérieur de la chambre sont ouverts ou obturés à l’aide de soupapes, dont le mouvement est engendré
par la rotation d’un arbre à cames, lui même entraîné par
l’arbre moteur par un jeu de poulies et de courroies.
L’arbre moteur est également appelé vilebrequin. Dans les
moteurs modernes, on coordonne les mouvements de
l’arbre à cames et du vilebrequin de façon à optimiser la
consommation de carburant.
Pour le moteur objet de cette étude, un système de déphasage permet à cet effet de décaler l’arbre à cames d’un
angle θ par rapport à une position de référence.
➤ Objectifs de l’étude
On souhaite définir l’architecture du système de commande et déterminer les valeurs numériques de certaines caractéristiques afin d’obtenir un asservissement en poursuite
du déphasage :
• l’actionneur utilisé pour réaliser le déphasage θ de
l’arbre à cames est un vérin hydraulique double-effet
piloté par un servo-distributeur ;
• la consigne de déphasage θ c est calculée à partir de
diverses informations provenant de capteurs de position
angulaire implantés sur le vilebrequin et sur l’arbre à
cames, de capteurs thermiques implantés à différents
endroits dans le moteur et du capteur d’enfoncement de
la pédale d’accélération.
La gestion des informations citées ici n’est pas abordée
dans cette étude.
➤ Notations
On note, lorsque cela est possible, une fonction dans le
domaine temporel par une lettre minuscule et sa transformée de Laplace par une lettre majuscule.
Le schéma général de l’asservissement du processus physique et des différents bouclages réalisés est donné sur la
figure 4.39.
On précise dans le tableau suivant les différentes grandeurs
θ c (t) consigne de déphasage
θ(t) déphasage de l’arbre à cames
m d (t) mesure du déphasage
θ 1 (t)
position angulaire de la poulie
θ 2 (t)
position angulaire de l’arbre à cames
m θ 2 (t) mesure de la position angulaire de l’arbre à
cames
θ v (t)
position angulaire du vilebrequin
m θ v (t) mesure de la position angulaire du vilebrequin
im θ v (t) image de la mesure de la position angulaire du
vilebrequin
u c (t)
tension de commande
ε(t)
écart de tension
i(t)
courant de commande du servo-distributeur
q(t)
débit à l’entrée du vérin
x(t)
déplacement axial du piston du vérin
➤ Hypothèses
Afin de simplifier la suite de l’étude, on suppose la position angulaire du vilebrequin θ v (t) nulle, ce qui revient à
étudier directement le déphasage de l’arbre à cames par
rapport à une position de référence.
Dans le cadre d’une étude autour d’un point de fonctionnement, on considère toutes les conditions initiales nulles.
a) Problématique
1. Montrer que le schéma-bloc de la figure 4.39 se simplifie comme la figure 4.40.
On considère que les capteurs de mesure des positions
angulaires θ v (t) du vilebrequin et θ 2 (t) de l’arbre à cames
sont assimilables à des gains purs de même valeur C. Le
gain de commande est identique au gain du capteur mesurant la position angulaire de l’arbre à cames. Le gain de
l’amplificateur est supposé unitaire. Le gain associé au
coulisseau à cannelures hélicoïdales est noté K c . Le servodistributeur est modélisé par un gain pur noté K e . On
adopte comme valeurs numériques
C = 10 V rad
−1
K c = 18 rad m
−1
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• un écart sur la sortie inférieur à 0,5 mm lors d’un effort
perturbateur de 0,1 N.
2. Détailler les grandeurs physiques ajoutées.
3. Transformer ce schéma-bloc pour obtenir un retour unitaire.
4. Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte
F( p) et tracer les lieux de BODE asymptotiques.
Peut-on conclure quant à la stabilité ?
5. Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée
H X ( p) permettant d’étudier le suivi de consigne.
Quel est l’écart en régime permanent entre la sortie et la
consigne ?
6. Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée
H Z ( p) permettant d’étudier l’influence d’une perturbation.
7. Quelle est l’influence d’un échelon de force perturbatrice d’amplitude Z 0 sur la position de l’équipage ?
Conclure quant à la performance souhaitée.
4.11 Système de distribution à calage variable pour
moteur 4 temps (d’après Banque PT SIA 2008)
Les véhicules automobiles utilisent généralement l’énergie
fournie par un moteur à explosion. Ces moteurs fonctionnent majoritairement suivant un cycle à quatre temps. Ces
quatre temps correspondent à deux aller-retour d’un piston
dans un cylindre et un cycle complet se décompose comme
suit :
• la phase d’admission, pendant laquelle le volume de la
chambre croît, laissant pénétrer le combustible et l’air ;
• la phase de compression ;
• la phase d’explosion, 2 e aller du piston, seule phase
motrice d’un tel cycle ;
• la phase d’échappement, 2 e retour du piston, pendant
laquelle les gaz brulés sont poussés vers l’échappement.
Pendant ces différentes phases, les orifices qui communiquent avec l’extérieur de la chambre sont ouverts ou obturés à l’aide de soupapes, dont le mouvement est engendré
par la rotation d’un arbre à cames, lui même entraîné par
l’arbre moteur par un jeu de poulies et de courroies.
L’arbre moteur est également appelé vilebrequin. Dans les
moteurs modernes, on coordonne les mouvements de
l’arbre à cames et du vilebrequin de façon à optimiser la
consommation de carburant.
Pour le moteur objet de cette étude, un système de déphasage permet à cet effet de décaler l’arbre à cames d’un
angle θ par rapport à une position de référence.
➤ Objectifs de l’étude
On souhaite définir l’architecture du système de commande et déterminer les valeurs numériques de certaines caractéristiques afin d’obtenir un asservissement en poursuite
du déphasage :
• l’actionneur utilisé pour réaliser le déphasage θ de
l’arbre à cames est un vérin hydraulique double-effet
piloté par un servo-distributeur ;
• la consigne de déphasage θ c est calculée à partir de
diverses informations provenant de capteurs de position
angulaire implantés sur le vilebrequin et sur l’arbre à
cames, de capteurs thermiques implantés à différents
endroits dans le moteur et du capteur d’enfoncement de
la pédale d’accélération.
La gestion des informations citées ici n’est pas abordée
dans cette étude.
➤ Notations
On note, lorsque cela est possible, une fonction dans le
domaine temporel par une lettre minuscule et sa transformée de Laplace par une lettre majuscule.
Le schéma général de l’asservissement du processus physique et des différents bouclages réalisés est donné sur la
figure 4.39.
On précise dans le tableau suivant les différentes grandeurs
θ c (t) consigne de déphasage
θ(t) déphasage de l’arbre à cames
m d (t) mesure du déphasage
θ 1 (t)
position angulaire de la poulie
θ 2 (t)
position angulaire de l’arbre à cames
m θ 2 (t) mesure de la position angulaire de l’arbre à
cames
θ v (t)
position angulaire du vilebrequin
m θ v (t) mesure de la position angulaire du vilebrequin
im θ v (t) image de la mesure de la position angulaire du
vilebrequin
u c (t)
tension de commande
ε(t)
écart de tension
i(t)
courant de commande du servo-distributeur
q(t)
débit à l’entrée du vérin
x(t)
déplacement axial du piston du vérin
➤ Hypothèses
Afin de simplifier la suite de l’étude, on suppose la position angulaire du vilebrequin θ v (t) nulle, ce qui revient à
étudier directement le déphasage de l’arbre à cames par
rapport à une position de référence.
Dans le cadre d’une étude autour d’un point de fonctionnement, on considère toutes les conditions initiales nulles.
a) Problématique
1. Montrer que le schéma-bloc de la figure 4.39 se simplifie comme la figure 4.40.
On considère que les capteurs de mesure des positions
angulaires θ v (t) du vilebrequin et θ 2 (t) de l’arbre à cames
sont assimilables à des gains purs de même valeur C. Le
gain de commande est identique au gain du capteur mesurant la position angulaire de l’arbre à cames. Le gain de
l’amplificateur est supposé unitaire. Le gain associé au
coulisseau à cannelures hélicoïdales est noté K c . Le servodistributeur est modélisé par un gain pur noté K e . On
adopte comme valeurs numériques
C = 10 V rad
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K c = 18 rad m
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