Exercices d’approfondissement
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercices d’approfondissement
4.10 Asservissement de position avec un moteur linéaire
Un robot de découpe au laser est représenté sur la figure cidessous. Le déplacement du porte-outil par rapport au bâti
résulte de la composition de deux translation selon X et
selon Y . Les actionneurs utilisés sont deux moteurs
linéaires. Ces derniers présentent la particularité d’un
entraînement direct sans réducteur, pignon-crémaillère, ou
autre transmetteur permettant d’obtenir un mouvement de
translation à partir d’un mouvement de rotation.
avec
– f m (t) la force motrice générée par le passage du courant dans le circuit et caractérisée par f m (t) = K f i(t),
où K f est la constante de force ;
– µ le coefficient de frottement visqueux au niveau de la
liaison glissière ;
– z(t) la composante suivant
x d’une force perturbatrice
appliquée à l’équipage mobile.
La vitesse du moteur dépend ainsi de u(t) et de z(t) :
X
Y
glissière
porte-outil
bâti
Figure 4.38 Principe de la table à mouvements croisés.
L’étude suivante se limite à un seul axe, celui correspondant à la translation de l’ensemble « glissière » par rapport
au bâti suivant X.
On décrit dans ce cas le mécanisme à l’aide de deux
ensembles :
• le bâti, sur lequel est fixé un aimant ;
• l’équipage mobile, de masse M , en liaison glissière de
direction
x avec le bâti et équipé d’un circuit électrique
en enroulement.
a) Modélisation du moteur
La tension u(t) appliquée aux bornes du moteur provoque
la vitesse v(t) de l’équipage mobile par rapport au bâti.
Les deux équations différentielles qui régissent le fonctionnement sont
• une équation électrique ;
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
+ e(t)
avec
– i(t) le courant traversant le circuit ;
– R et L respectivement la résistance et l’inductance du
circuit ;
– e(t) la force électromotrice due au mouvement du
moteur et caractérisée par e(t) = K v v(t), où K v est la
constante de vitesse du moteur.
• une équation mécanique, issue de l’équation de la résultante dynamique appliqué à l’équipage mobile en projection sur
x.
M
dv(t)
dt
= f m (t) − µ v(t) + z(t)
Moteur linéaire
u(t)
z(t)
v(t)
+
+
F 1 (p)
F 2 (p)
U(p)
Z (p)
V (p)
➤ Hypothèses simplificatrices
Pour tout ce problème, on néglige l’inductance L du
moteur dans l’équation électrique, le coefficient de frottement visqueux µ dans l’équation mécanique et on utilise la
seule constante K pour remplacer les deux constantes K v
et K f qui ont la même valeur numérique dans le système
d’unités SI .
➤ Données numériques
M = 200 g R = 3 K = 4 SI
A = 2 V/m C = 40
1. À partir des équations décrivant le fonctionnement du
système, construire un schéma-bloc en adoptant comme
structure
Détailler les deux fonctions de transfert F 1 ( p) et F 2 ( p)
sous leurs formes canoniques.
b) Asservissement en position
On propose un asservissement en position selon le schéma-bloc ci-dessous
+ -
+
+
A
C
F 1 (p)
F 2 (p)
1
p
A
X c (p)
UX (p)
U(p)
V (p)
X (p)
Z (p)
M X (p)
L’adaptateur de consigne et le capteur de position sont de
même gain pur A, le correcteur est de type proportionnel
caractérisé par une constante C.
➤ Performances attendues
Pour un bon fonctionnement de cet axe, on souhaite :
• un système stable en boucle fermée ;
• la sortie égale à la consigne en réponse à un échelon de
position, ceci en l’absence de force perturbatrice sur
l’équipage mobile ;
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Exercices d’approfondissement
4.10 Asservissement de position avec un moteur linéaire
Un robot de découpe au laser est représenté sur la figure cidessous. Le déplacement du porte-outil par rapport au bâti
résulte de la composition de deux translation selon X et
selon Y . Les actionneurs utilisés sont deux moteurs
linéaires. Ces derniers présentent la particularité d’un
entraînement direct sans réducteur, pignon-crémaillère, ou
autre transmetteur permettant d’obtenir un mouvement de
translation à partir d’un mouvement de rotation.
avec
– f m (t) la force motrice générée par le passage du courant dans le circuit et caractérisée par f m (t) = K f i(t),
où K f est la constante de force ;
– µ le coefficient de frottement visqueux au niveau de la
liaison glissière ;
– z(t) la composante suivant
x d’une force perturbatrice
appliquée à l’équipage mobile.
La vitesse du moteur dépend ainsi de u(t) et de z(t) :
X
Y
glissière
porte-outil
bâti
Figure 4.38 Principe de la table à mouvements croisés.
L’étude suivante se limite à un seul axe, celui correspondant à la translation de l’ensemble « glissière » par rapport
au bâti suivant X.
On décrit dans ce cas le mécanisme à l’aide de deux
ensembles :
• le bâti, sur lequel est fixé un aimant ;
• l’équipage mobile, de masse M , en liaison glissière de
direction
x avec le bâti et équipé d’un circuit électrique
en enroulement.
a) Modélisation du moteur
La tension u(t) appliquée aux bornes du moteur provoque
la vitesse v(t) de l’équipage mobile par rapport au bâti.
Les deux équations différentielles qui régissent le fonctionnement sont
• une équation électrique ;
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
+ e(t)
avec
– i(t) le courant traversant le circuit ;
– R et L respectivement la résistance et l’inductance du
circuit ;
– e(t) la force électromotrice due au mouvement du
moteur et caractérisée par e(t) = K v v(t), où K v est la
constante de vitesse du moteur.
• une équation mécanique, issue de l’équation de la résultante dynamique appliqué à l’équipage mobile en projection sur
x.
M
dv(t)
dt
= f m (t) − µ v(t) + z(t)
Moteur linéaire
u(t)
z(t)
v(t)
+
+
F 1 (p)
F 2 (p)
U(p)
Z (p)
V (p)
➤ Hypothèses simplificatrices
Pour tout ce problème, on néglige l’inductance L du
moteur dans l’équation électrique, le coefficient de frottement visqueux µ dans l’équation mécanique et on utilise la
seule constante K pour remplacer les deux constantes K v
et K f qui ont la même valeur numérique dans le système
d’unités SI .
➤ Données numériques
M = 200 g R = 3 K = 4 SI
A = 2 V/m C = 40
1. À partir des équations décrivant le fonctionnement du
système, construire un schéma-bloc en adoptant comme
structure
Détailler les deux fonctions de transfert F 1 ( p) et F 2 ( p)
sous leurs formes canoniques.
b) Asservissement en position
On propose un asservissement en position selon le schéma-bloc ci-dessous
+ -
+
+
A
C
F 1 (p)
F 2 (p)
1
p
A
X c (p)
UX (p)
U(p)
V (p)
X (p)
Z (p)
M X (p)
L’adaptateur de consigne et le capteur de position sont de
même gain pur A, le correcteur est de type proportionnel
caractérisé par une constante C.
➤ Performances attendues
Pour un bon fonctionnement de cet axe, on souhaite :
• un système stable en boucle fermée ;
• la sortie égale à la consigne en réponse à un échelon de
position, ceci en l’absence de force perturbatrice sur
l’équipage mobile ;
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