Exercices d’application
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1. Dans quelles circonstances ce système de correction estil sollicité ?
2. Quelle relation lie les angles α et β ?
3. Proposer un schéma-bloc décrivant le système asservi
permettant de maintenir l’orientation de l’axe des phares
par rapport à l’axe des roues.
4. En supposant les gains des capteurs identiques, transformer le schéma-bloc pour le rendre à retour unitaire, puis
déterminer sa fonction de transfert en boucle fermée.
4.4 Stabilité d’un pendule
L’objectif de cet exercice est d’évaluer la stabilité d’un
système après la linéarisation d’une loi entrée-sortie au
voisinage d’un point de fonctionnement.
On considère pour cela un pendule constitué de trois
solides :
• un bâti 1, auquel on associe un repère (O, x 1 , y 1 , z 1 ).
• un coulisseau 2, en liaison glissière suivant
x 1 avec le bâti
1.
On lui associe le repère (A, x 1 , y 1 , z 1 ), avec la position du
point A repérée par le vecteur
−→
O A = x(t)
x 1 .
• un pendule 3, en liaison pivot d’axe (A, z 1 ) avec le coulisseau 2.
On lui associe le repère (A, x 3 , y 3 , z 3 ) en choisissant z 3
confondu à chaque instant avec z 1 et on pose l’angle
θ(t) = ( y 1 , y 3 ).
Ce pendule est de masse notée m, supposée concentrée en
son centre de masse G dont la position est caractérisée par
− →
AG = −R
y 3 .
3. Pour chacune de ces deux positions d’équilibre :
• linéariser l’équation différentielle du mouvement au voisinage de la position d’équilibre ;
• transposer l’équation linéarisée dans le domaine symbolique en utilisant la transformée de LAPLACE ;
• écrire la fonction de transfert liant ( p) à X ( p) ;
• conclure quant à la stabilité du système d’entrée x(t) et
de sortie θ(t).
4.5 Stabilité des systèmes élémentaires
Énoncer les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité pour les systèmes suivants :
1. Système du premier ordre défini par la fonction de transfert
F( p) =
K
1 + τ p
2. Système du second ordre défini par la fonction de transfert
F( p) =
K
1 +
2ξ
ω n
p +
1
ω n
2
p 2
4.6 Stabilité des systèmes asservis
Soit un système asservi décrit par un schéma bloc à retour
unitaire
1
3
2
O
A
G
1
1
3
x
1 = 3
1
1
3
3
θ
θ
y
y
y
y
x
x
Concernant les actions mécaniques :
• le champ de pesanteur est caractérisé par le vecteur
g = −g
y 1 ;
• on prend en compte les frottements visqueux au niveau
de la liaison pivot entre 2 et 3. Leur influence est modélisée par un couple caractérisé par
M (A,2 → 3) . z 1 = −µ
(3/2). z 1 .
On considère le système d’entrée x(t) et de sortie θ(t).
x (t)
( t)
Pendule
θ
1. Déterminer l’équation différentielle liant les deux paramètres cinématiques.
2. Vérifier que les positions θ = 0 et θ = π correspondent
à des positions d’équilibre du pendule par rapport au coulisseau.
+ -
F (p)
Y c (p)
( p)
Y (p)
ε
Figure 4.36 Système asservi à retour unitaire.
On s’intéresse dans cet exercice aux conditions de stabilité
des systèmes génériques.
Définir la forme canonique de la fonction de transfert F( p)
et énoncer les conditions de stabilité en utilisant le critère
de Routh pour chacun des trois systèmes suivants :
1. système d’ordre 1 et de classe 0 ;
2. système d’ordre 2 et de classe 0 ;
3. système d’ordre 3 et de classe 1.
Illustrer les trois résultats sur le plan de Black.
4.7 Application du critère de Routh
On considère le système asservi décrit par le schéma-bloc
suivant.
+ -
K
(1 + ) 2
1
p
X (p)
(p)
Y (p)
τ
ε
p
Par application du critère de Routh, déterminer une condition sur la constante K qui permette d’avoir un système
stable en boucle fermée.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1. Dans quelles circonstances ce système de correction estil sollicité ?
2. Quelle relation lie les angles α et β ?
3. Proposer un schéma-bloc décrivant le système asservi
permettant de maintenir l’orientation de l’axe des phares
par rapport à l’axe des roues.
4. En supposant les gains des capteurs identiques, transformer le schéma-bloc pour le rendre à retour unitaire, puis
déterminer sa fonction de transfert en boucle fermée.
4.4 Stabilité d’un pendule
L’objectif de cet exercice est d’évaluer la stabilité d’un
système après la linéarisation d’une loi entrée-sortie au
voisinage d’un point de fonctionnement.
On considère pour cela un pendule constitué de trois
solides :
• un bâti 1, auquel on associe un repère (O, x 1 , y 1 , z 1 ).
• un coulisseau 2, en liaison glissière suivant
x 1 avec le bâti
1.
On lui associe le repère (A, x 1 , y 1 , z 1 ), avec la position du
point A repérée par le vecteur
−→
O A = x(t)
x 1 .
• un pendule 3, en liaison pivot d’axe (A, z 1 ) avec le coulisseau 2.
On lui associe le repère (A, x 3 , y 3 , z 3 ) en choisissant z 3
confondu à chaque instant avec z 1 et on pose l’angle
θ(t) = ( y 1 , y 3 ).
Ce pendule est de masse notée m, supposée concentrée en
son centre de masse G dont la position est caractérisée par
− →
AG = −R
y 3 .
3. Pour chacune de ces deux positions d’équilibre :
• linéariser l’équation différentielle du mouvement au voisinage de la position d’équilibre ;
• transposer l’équation linéarisée dans le domaine symbolique en utilisant la transformée de LAPLACE ;
• écrire la fonction de transfert liant ( p) à X ( p) ;
• conclure quant à la stabilité du système d’entrée x(t) et
de sortie θ(t).
4.5 Stabilité des systèmes élémentaires
Énoncer les conditions nécessaires et suffisantes de stabilité pour les systèmes suivants :
1. Système du premier ordre défini par la fonction de transfert
F( p) =
K
1 + τ p
2. Système du second ordre défini par la fonction de transfert
F( p) =
K
1 +
2ξ
ω n
p +
1
ω n
2
p 2
4.6 Stabilité des systèmes asservis
Soit un système asservi décrit par un schéma bloc à retour
unitaire
1
3
2
O
A
G
1
1
3
x
1 = 3
1
1
3
3
θ
θ
y
y
y
y
x
x
Concernant les actions mécaniques :
• le champ de pesanteur est caractérisé par le vecteur
g = −g
y 1 ;
• on prend en compte les frottements visqueux au niveau
de la liaison pivot entre 2 et 3. Leur influence est modélisée par un couple caractérisé par
M (A,2 → 3) . z 1 = −µ
(3/2). z 1 .
On considère le système d’entrée x(t) et de sortie θ(t).
x (t)
( t)
Pendule
θ
1. Déterminer l’équation différentielle liant les deux paramètres cinématiques.
2. Vérifier que les positions θ = 0 et θ = π correspondent
à des positions d’équilibre du pendule par rapport au coulisseau.
+ -
F (p)
Y c (p)
( p)
Y (p)
ε
Figure 4.36 Système asservi à retour unitaire.
On s’intéresse dans cet exercice aux conditions de stabilité
des systèmes génériques.
Définir la forme canonique de la fonction de transfert F( p)
et énoncer les conditions de stabilité en utilisant le critère
de Routh pour chacun des trois systèmes suivants :
1. système d’ordre 1 et de classe 0 ;
2. système d’ordre 2 et de classe 0 ;
3. système d’ordre 3 et de classe 1.
Illustrer les trois résultats sur le plan de Black.
4.7 Application du critère de Routh
On considère le système asservi décrit par le schéma-bloc
suivant.
+ -
K
(1 + ) 2
1
p
X (p)
(p)
Y (p)
τ
ε
p
Par application du critère de Routh, déterminer une condition sur la constante K qui permette d’avoir un système
stable en boucle fermée.
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