4.3 • Notion de pôles dominants
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4.3 Notion de pôles dominants
Plus on modélise finement un système réel, plus sa fonction de transfert est d’un ordre
élevé. En parallèle, on constate que son comportement dynamique reste très voisin de
systèmes de fonction de transfert d’ordre inférieur. Si les différences comportementales sont faibles, il peut être intéressant de substituer au modèle complexe un modèle
simplifié, dont l’étude est plus économique.
4.3.1 Mode d’un système
Une fonction de transfert F( p) quelconque peut être mise sous la forme de produits et
rapports de monômes.
F( p) = K
m
j=1 ( p − z j )
n
i=1 ( p − p i )
Sous cette forme, la fonction de transfert peut être décomposée en éléments simples.
Pour simplifier l’étude, on n’envisage que le cas où m < n, pour lequel la décomposition met F( p) sous la forme d’une somme d’éléments de deux types :
• soit
A i
p − p i

 ou
k
j=1
A i j
( p − p i ) j

 pour un pôle réel simple (ou multiple d’ordre k) p i ;
• soit
A i p + B i
( p − a i ) 2 + b
2
i

 ou
k
j=1
A i j p + B i j
( p − a i ) 2 + b
2
i
j

 pour une paire de pôles complexes conjugués (ou des paires multiples d’ordre k) p i1 = a i + jb i et p i2 = a i − jb i .
Chaque pôle ou paire de pôles, simple ou multiple, est à prendre isolément et conduit
alors à une réponse impulsionnelle particulière appelée mode du système.
Définition
On appelle mode d’un système la réponse impulsionnelle associée à un de ses pôles
réels, ou à une de ses paires de pôles complexes conjugués.
Soit un pôle ou une paire de pôles de la fonction de transfert du système. Le mode du
système associé au(x) pôle(s) correspondant(s) est la réponse impulsionnelle Y ( p)
précisé ci-après :
• dans le cas d’un pôle réel p i
Y i ( p) =
1
p − p i
• dans le cas d’une paire de pôles conjugués p j et p j
Y j ( p) =
1
( p − p j )( p − p j )
La figure 4.31 détaille un exemple de positionnement de pôles dans le plan complexe
et fournit les réponses impulsionnelles associées. Ces dernières amènent de façon qualitative à différents constats.
Cette présentation est faite en faisant
abstraction des méthodes et détails de
calculs, pour parvenir rapidement à la
notion de pôles dominants.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Bon nombre de systèmes réels ont
dynamiquement un comportement
proche d’un système d’ordre 2 !
Les z j sont les zéros de F( p) et les p i
sont les pôles de F( p).
Pour une paire de pôles complexes
conjugués ( p k , p k ), seul le point B k ,
ou C k , correspondant à p k a été
matérialisé !
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