Chapitre 4 • Systèmes asservis – Stabilité des sytèmes
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(2) On construit ensuite ligne par ligne le reste du tableau qui comporte en tout n + 1
lignes, numérotées de p n à p
0 . Le terme courant A i j , situé à l’intersection de la
ligne i et de la colonne j, se calcule à partir des quatre termes situés sur les deux
lignes supérieures (i + 1) et (i + 2), dans les colonnes (1) et ( j + 1) par la formule suivante
A i j =
−1
A (i+1)1
A (i+2)1 A (i+2)( j+1)
A (i+1)1 A (i+1)( j+1)
Pour les calculs successifs, un terme manquant est systématiquement remplacé par le
nombre zéro. Finalement, on obtient un tableau de forme triangulaire, avec le seul
terme A 01 en dernière ligne.
p
n
a n
a n 2
a n 4
· ··
0
p
n 1
a n 1
a n 3
a n 5
· ··
0
1
2
3
4
· ··
p
n
a n
a n 2
a n 4
a n 6
· ··
0
p
n 1
a n 1
a n 3
a n 5
a n 7
· ··
0
p
n 2
A (n 2)1
A (n 2)2
A (n 2)3
· ··
p
n 3
A (n 3)1
A (n 3)2
. . .
. . .
. . .
. . .
p
0
A 01
À titre d’exemple, le terme A (n−2)3 est calculé par
A (n−2)3 =
−1
a n−1
a n
a n−6
a n−1 a n−7
= −
a n a n−7 − a n−1 a n−6
a n−1
Énoncé du critère de Routh
Un système est stable si et seulement si les termes de la première colonne du tableau
de Routh construit à partir du polynôme du dénominateur de la fonction de transfert
sont tous strictement positifs.
Remarque
Au vu de ce critère, la construction du tableau de Routh peut être interrompue avant la fin,
dès l’apparition d’un terme négatif ou nul.
Exemple
On reprend le seul des trois systèmes de l’exemple précédent ayant satisfait à la
condition nécessaire de stabilité, à savoir le système asservi de FTBF
H ( p) =
1 + 2 p
2
8 + 10 p + 4 p 2 + 2 p 3
Le coefficient a n du terme de degré le
plus élevé est toujours posé positif !
La première colonne de ce tableau,
encadrée en traits pointillés,est appelée
colonne des « pivots ».
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