4.2 • Stabilité des systèmes asservis
135
Condition nécessaire de stabilité
En appliquant le théorème de stabilité au sens EBSB, le système est stable si tous les
zéros de l’équation caractéristique sont à partie réelle strictement négative. Des considérations sur les polynômes permettent d’affirmer que, si l’un des coefficients a 0 à a n
du polynôme du dénominateur de la fonction de transfert H ( p) n’est pas strictement
positif, alors l’équation caractéristique admet au moins une racine à partie réelle positive ou nulle. Cette proposition permet d’énoncer une condition algébrique de stabilité nécessaire.
Énoncé de la condition nécessaire de stabilité
Pour qu’un système soit stable au sens EBSB, il est nécessaire que les coefficients a 0
à a n du polynôme du dénominateur de sa fonction de transfert soient tous strictement positifs.
En corollaire, cela signifie que la présence d’un coefficient négatif ou nul au dénominateur suffit pour affirmer l’instabilité du système.
Exemple
On considère trois systèmes asservis ayant pour FTBF respectives les fonctions
H 1 ( p) =
1
2 + 5 p + 3 p 2 + p 4
H 2 ( p) =
1 + 3 p
4 + 3 p − 3 p 2 + 6 p 3 + 8 p 4
H 3 ( p) =
1 + 2 p
2
8 + 10 p + 4 p 2 + 2 p 3
Peut-on conclure quant à la stabilité de ces trois systèmes ?
• Le système de fonction de transfert H 1 ( p) ne satisfait pas à la condition nécessaire de stabilité car il n’y a pas de terme en p
3 au dénominateur de sa fonction
de transfert. Ce système est donc instable.
• Le système de fonction de transfert H 2 ( p) ne satisfait pas à la condition nécessaire de stabilité car le coefficient du terme en p
2 est négatif. Ce système est
donc instable.
• Le système de fonction de transfert H 3 ( p) satisfait bien à la condition nécessaire de stabilité car les quatre coefficients du polynôme du dénominateur de sa
fonction de transfert sont tous strictement positifs. On ne peut donc pas conclure, car on ne sait pas encore si ce système est stable ou instable.
Critère de Routh
Ce critère complète le précédent car il énonce une condition nécessaire et suffisante
pour qu’un polynôme ait toutes ses racines à partie réelle strictement négative.
Il requiert en préliminaire la construction d’une table à partir du polynôme caractéristique de la fonction de transfert.
➤ Construction du tableau de Routh en deux étapes
(1) On écrit tout d’abord les deux premières lignes du tableau en plaçant alternativement sur chaque ligne les coefficients du polynôme caractéristique dans l’ordre des
puissances décroissantes de p, en complétant avec des zéros jusqu’à en avoir deux
l’un au-dessus de l’autre.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Si l’on met la fonction de transfert sous
la forme H ( p) =
N ( p)
D( p) , l’équation
caractéristique est l’équation
D( p) = 0.
Nécessaire ne veut pas dire suffisant !
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:57 Page 135
135
Condition nécessaire de stabilité
En appliquant le théorème de stabilité au sens EBSB, le système est stable si tous les
zéros de l’équation caractéristique sont à partie réelle strictement négative. Des considérations sur les polynômes permettent d’affirmer que, si l’un des coefficients a 0 à a n
du polynôme du dénominateur de la fonction de transfert H ( p) n’est pas strictement
positif, alors l’équation caractéristique admet au moins une racine à partie réelle positive ou nulle. Cette proposition permet d’énoncer une condition algébrique de stabilité nécessaire.
Énoncé de la condition nécessaire de stabilité
Pour qu’un système soit stable au sens EBSB, il est nécessaire que les coefficients a 0
à a n du polynôme du dénominateur de sa fonction de transfert soient tous strictement positifs.
En corollaire, cela signifie que la présence d’un coefficient négatif ou nul au dénominateur suffit pour affirmer l’instabilité du système.
Exemple
On considère trois systèmes asservis ayant pour FTBF respectives les fonctions
H 1 ( p) =
1
2 + 5 p + 3 p 2 + p 4
H 2 ( p) =
1 + 3 p
4 + 3 p − 3 p 2 + 6 p 3 + 8 p 4
H 3 ( p) =
1 + 2 p
2
8 + 10 p + 4 p 2 + 2 p 3
Peut-on conclure quant à la stabilité de ces trois systèmes ?
• Le système de fonction de transfert H 1 ( p) ne satisfait pas à la condition nécessaire de stabilité car il n’y a pas de terme en p
3 au dénominateur de sa fonction
de transfert. Ce système est donc instable.
• Le système de fonction de transfert H 2 ( p) ne satisfait pas à la condition nécessaire de stabilité car le coefficient du terme en p
2 est négatif. Ce système est
donc instable.
• Le système de fonction de transfert H 3 ( p) satisfait bien à la condition nécessaire de stabilité car les quatre coefficients du polynôme du dénominateur de sa
fonction de transfert sont tous strictement positifs. On ne peut donc pas conclure, car on ne sait pas encore si ce système est stable ou instable.
Critère de Routh
Ce critère complète le précédent car il énonce une condition nécessaire et suffisante
pour qu’un polynôme ait toutes ses racines à partie réelle strictement négative.
Il requiert en préliminaire la construction d’une table à partir du polynôme caractéristique de la fonction de transfert.
➤ Construction du tableau de Routh en deux étapes
(1) On écrit tout d’abord les deux premières lignes du tableau en plaçant alternativement sur chaque ligne les coefficients du polynôme caractéristique dans l’ordre des
puissances décroissantes de p, en complétant avec des zéros jusqu’à en avoir deux
l’un au-dessus de l’autre.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Si l’on met la fonction de transfert sous
la forme H ( p) =
N ( p)
D( p) , l’équation
caractéristique est l’équation
D( p) = 0.
Nécessaire ne veut pas dire suffisant !
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:57 Page 135