4.2 • Stabilité des systèmes asservis
133
Définition
On appelle point critique le nombre −1 dans l’espace des complexes :
• dans le plan de NYQUIST, il s’agit du point d’affixe −1 ;
• dans le plan de BLACK, il s’agit du point de coordonnées (– 180°, 0 dB).
Le point critique n’est pas défini sur les plans de Bode. Il y induit néanmoins pour les
raisonnements à venir deux droites parallèles à l’axe des pulsations.
En effet, on rappelle ici le lien entre les diagrammes de Bode et le diagramme de Black
à partir de la représentation tridimensionnelle du lieu de transfert. Un point A du lieu
de transfert correspond à un triplet (ω,Arg(F( jω)),20Log |F( jω)|) placé dans un
système d’axes (pulsation, phase, gain).
• la projection du point A en B, dans le plan (ω,Gd B) donne un point du diagramme de Bode en gain ;
• la projection du point A en C, dans le plan (ω,ϕ) donne un point du diagramme
de Bode en phase ;
• la projection du point A en D, dans le plan (ϕ,Gd B) donne un point du diagramme de Black.
G dB
A
B
C
D
ϕ
ω
Figure 4.23 Le lieu de transfert dans l’espace (ω,ϕ,Gd B).
Le point critique est défini indépendamment de la pulsation. C’est ainsi que l’on
retrouve dans l’espace une droite, et donc sur les plans de Bode deux droites, correspondant aux points de coordonnées (ω,−180 ◦ , 0 dB) . Cette droite est bien parallèle à
l’axe des pulsations.
Critère du revers dans le plan complexe
Énoncé du critère
Un système asservi, dont la FTBO n’a pas de pôle à partie réelle strictement positive, est stable en boucle fermée si et seulement si le lieu de Nyquist de sa FTBO parcouru dans le sens des pulsations croissantes laisse le point critique sur sa gauche.
Remarque
Il convient de se rappeler qu’un système stable en boucle ouverte admet une fonction
de transfert en boucle ouverte sans pôle à partie réelle strictement positive.
Ce critère s’applique tout à fait aux systèmes instables en boucle ouverte lorsque l’instabilité du fonctionnement en boucle ouverte est liée à l’augmentation de la classe de
la FTBO. En effet, si un zéro est pôle de la FTBO, alors le système est instable sans
pour autant avoir de racine à partie réelle strictement positive.
Ce résultat vient du théorème de stabilité
au sens EBSB énoncé page précédente.
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Définition
On appelle point critique le nombre −1 dans l’espace des complexes :
• dans le plan de NYQUIST, il s’agit du point d’affixe −1 ;
• dans le plan de BLACK, il s’agit du point de coordonnées (– 180°, 0 dB).
Le point critique n’est pas défini sur les plans de Bode. Il y induit néanmoins pour les
raisonnements à venir deux droites parallèles à l’axe des pulsations.
En effet, on rappelle ici le lien entre les diagrammes de Bode et le diagramme de Black
à partir de la représentation tridimensionnelle du lieu de transfert. Un point A du lieu
de transfert correspond à un triplet (ω,Arg(F( jω)),20Log |F( jω)|) placé dans un
système d’axes (pulsation, phase, gain).
• la projection du point A en B, dans le plan (ω,Gd B) donne un point du diagramme de Bode en gain ;
• la projection du point A en C, dans le plan (ω,ϕ) donne un point du diagramme
de Bode en phase ;
• la projection du point A en D, dans le plan (ϕ,Gd B) donne un point du diagramme de Black.
G dB
A
B
C
D
ϕ
ω
Figure 4.23 Le lieu de transfert dans l’espace (ω,ϕ,Gd B).
Le point critique est défini indépendamment de la pulsation. C’est ainsi que l’on
retrouve dans l’espace une droite, et donc sur les plans de Bode deux droites, correspondant aux points de coordonnées (ω,−180 ◦ , 0 dB) . Cette droite est bien parallèle à
l’axe des pulsations.
Critère du revers dans le plan complexe
Énoncé du critère
Un système asservi, dont la FTBO n’a pas de pôle à partie réelle strictement positive, est stable en boucle fermée si et seulement si le lieu de Nyquist de sa FTBO parcouru dans le sens des pulsations croissantes laisse le point critique sur sa gauche.
Remarque
Il convient de se rappeler qu’un système stable en boucle ouverte admet une fonction
de transfert en boucle ouverte sans pôle à partie réelle strictement positive.
Ce critère s’applique tout à fait aux systèmes instables en boucle ouverte lorsque l’instabilité du fonctionnement en boucle ouverte est liée à l’augmentation de la classe de
la FTBO. En effet, si un zéro est pôle de la FTBO, alors le système est instable sans
pour autant avoir de racine à partie réelle strictement positive.
Ce résultat vient du théorème de stabilité
au sens EBSB énoncé page précédente.
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