Chapitre 4 • Systèmes asservis – Stabilité des sytèmes
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On pose l’acronyme EBSB pour « entrée bornée, sortie bornée »
Cette définition a une conséquence immédiate pour un système défini par une fonction
de transfert, que l’on énonce sous forme de théorème.
Théorème
Un système est stable au sens EBSB si et seulement si les pôles de sa fonction de
transfert sont tous à partie réelle strictement négative.
On reprend un système asservi décrit par une chaîne d’action et une chaîne de retour
+ -
F 1 (p)
F 2 (p)
X (p)
( p)
Y (p)
R (p)
ε
Figure 4.22 Système asservi avec chaîne d’action et chaîne de retour.
Les fonctions de transfert F 1 ( p) et F 2 ( p) sont des fractions rationnelles qui peuvent
se mettre sous la forme de rapports de polynômes, notés respectivement N i ( p) pour le
numérateur et D i ( p) pour le dénominateur.
F 1 ( p) =
N 1 ( p)
D 1 ( p)
F 2 ( p) =
N 2 ( p)
D 2 ( p)
Ce système admet comme fonction de transfert en boucle ouverte la fonction
F( p) = F 1 ( p)F 2 ( p) et on calcule la fonction de transfert en boucle fermée que l’on
écrit sous deux formes différentes.
H ( p) =
F 1 ( p)
1 + F( p)
=
N 1 ( p)D 2 ( p)
D 1 ( p)D 2 ( p) + N 1 ( p)N 2 ( p)
Les pôles de la FTBF sont donc les zéros de la fonction 1 + F( p) ou les zéros du
polynôme D 1 ( p)D 2 ( p) + N 1 ( p)N 2 ( p).
Le système asservi est donc stable si tous les zéros du dénominateur de la fonction de
transfert en boucle fermée sont à partie réelle négative. La recherche de ces conditions
est mise en œuvre à l’aide de deux techniques différentes, ayant chacune ses qualités
et ses limites :
• montrer que les zéros de la fraction rationnelle 1 + F( p) sont à partie réelle négative fait appel à des critères graphiques, en s’appuyant sur l’équivalence entre les
équations 1 + F( p) = 0 et F( p) = −1 ;
• montrer que les zéros du polynôme développé D 1 ( p)D 2 ( p) + N 1 ( p)N 2 ( p) sont à
partie réelle négative fait appel à des critères algébriques.
4.2.2 Critères graphiques
L’intérêt des critères graphiques est d’obtenir des informations sur la stabilité du système asservi fonctionnant en boucle fermée à partir de l’examen de sa fonction de
transfert en boucle ouverte.
On utilise principalement le critère du revers, qui permet de résoudre la plupart des
problèmes. Il découle du critère de NYQUIST dont la maîtrise n’est pas demandée.
Point critique
On a vu à la section précédente que la recherche des zéros du dénominateur de la
FTBF revient à résoudre l’équation F( p) = −1.
Pour les curieux, la présentation du
théorème de Cauchy et du critère de
Nyquist est consultable sur
http://www.jdotec.net/s3i.
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On pose l’acronyme EBSB pour « entrée bornée, sortie bornée »
Cette définition a une conséquence immédiate pour un système défini par une fonction
de transfert, que l’on énonce sous forme de théorème.
Théorème
Un système est stable au sens EBSB si et seulement si les pôles de sa fonction de
transfert sont tous à partie réelle strictement négative.
On reprend un système asservi décrit par une chaîne d’action et une chaîne de retour
+ -
F 1 (p)
F 2 (p)
X (p)
( p)
Y (p)
R (p)
ε
Figure 4.22 Système asservi avec chaîne d’action et chaîne de retour.
Les fonctions de transfert F 1 ( p) et F 2 ( p) sont des fractions rationnelles qui peuvent
se mettre sous la forme de rapports de polynômes, notés respectivement N i ( p) pour le
numérateur et D i ( p) pour le dénominateur.
F 1 ( p) =
N 1 ( p)
D 1 ( p)
F 2 ( p) =
N 2 ( p)
D 2 ( p)
Ce système admet comme fonction de transfert en boucle ouverte la fonction
F( p) = F 1 ( p)F 2 ( p) et on calcule la fonction de transfert en boucle fermée que l’on
écrit sous deux formes différentes.
H ( p) =
F 1 ( p)
1 + F( p)
=
N 1 ( p)D 2 ( p)
D 1 ( p)D 2 ( p) + N 1 ( p)N 2 ( p)
Les pôles de la FTBF sont donc les zéros de la fonction 1 + F( p) ou les zéros du
polynôme D 1 ( p)D 2 ( p) + N 1 ( p)N 2 ( p).
Le système asservi est donc stable si tous les zéros du dénominateur de la fonction de
transfert en boucle fermée sont à partie réelle négative. La recherche de ces conditions
est mise en œuvre à l’aide de deux techniques différentes, ayant chacune ses qualités
et ses limites :
• montrer que les zéros de la fraction rationnelle 1 + F( p) sont à partie réelle négative fait appel à des critères graphiques, en s’appuyant sur l’équivalence entre les
équations 1 + F( p) = 0 et F( p) = −1 ;
• montrer que les zéros du polynôme développé D 1 ( p)D 2 ( p) + N 1 ( p)N 2 ( p) sont à
partie réelle négative fait appel à des critères algébriques.
4.2.2 Critères graphiques
L’intérêt des critères graphiques est d’obtenir des informations sur la stabilité du système asservi fonctionnant en boucle fermée à partir de l’examen de sa fonction de
transfert en boucle ouverte.
On utilise principalement le critère du revers, qui permet de résoudre la plupart des
problèmes. Il découle du critère de NYQUIST dont la maîtrise n’est pas demandée.
Point critique
On a vu à la section précédente que la recherche des zéros du dénominateur de la
FTBF revient à résoudre l’équation F( p) = −1.
Pour les curieux, la présentation du
théorème de Cauchy et du critère de
Nyquist est consultable sur
http://www.jdotec.net/s3i.
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