4.2 • Stabilité des systèmes asservis
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4.2.1 Stabilité et systèmes
La notion de stabilité est relativement intuitive, souvent associée à la notion d’équilibre, et se prête à différentes interprétations.
On considère par exemple le pendule de la figure 4.20, d’entrée x(t), de sortie θ(t). Il
comporte une tige 3 articulée sur un chariot 2, ce dernier étant mobile en translation
par rapport à un bâti 1. On s’intéresse aux positions d’équilibre de la tige 3 par rapport
au bâti 1.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1
3
2
1
1
3
x (t)
θ
x
y y
Figure 4.20 Un pendule à deux degrés de liberté.
• Il existe une position (a) d’équilibre stable pour l’angle θ = 0, pour laquelle une
impulsion d’entrée x(t) = δ(t) est suivie d’un retour à la même position d’équilibre. Une linéarisation du système autour de cette position conduit à l’étude d’un
système linéaire stable.
• Il existe une position (b) d’équilibre instable pour l’angle θ = π, pour laquelle une
impulsion d’entrée x(t) = δ(t) écarte la tige 3 de sa position d’équilibre pour ne
plus y revenir. Une linéarisation du système autour de cette position conduit à l’étude d’un système linéaire instable.
• D’autres positions (c) peuvent sembler stables, mais elles ne correspondent pas à
des positions d’équilibre car elles exigent une entrée x(t) particulière.
t
x (t) (t)
t
x (t) (t)
0
π
t
x (t) (t)
1
0
x = a t
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
(a)
(b)
(c)
Figure 4.21 Différentes positions d’équilibre.
Pour l’étude des servomécanismes, on adopte une définition de la stabilité indépendante de la notion d’équilibre. On s’intéresse aux amplitudes de variation des grandeurs entrée et de sortie et on se limite à des quantités bornées.
Définition
Un système est stable si, et seulement si, à n’importe quelle entrée évoluant dans un
intervalle borné correspond une sortie évoluant dans un intervalle borné.
Lorsqu’on s’intéresse à un système réel,
non linéaire, que l’on fait fonctionner
autour d’un point d’équilibre particulier,
il est possible de linéariser les équations
régissant son comportement au
voisinage de ce point et de se ramener
à un modèle linéaire, dont le domaine
de validité est certes limité, mais qui
peut être étudié avec les outils des
systèmes linéaires continus invariants.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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4.2.1 Stabilité et systèmes
La notion de stabilité est relativement intuitive, souvent associée à la notion d’équilibre, et se prête à différentes interprétations.
On considère par exemple le pendule de la figure 4.20, d’entrée x(t), de sortie θ(t). Il
comporte une tige 3 articulée sur un chariot 2, ce dernier étant mobile en translation
par rapport à un bâti 1. On s’intéresse aux positions d’équilibre de la tige 3 par rapport
au bâti 1.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1
3
2
1
1
3
x (t)
θ
x
y y
Figure 4.20 Un pendule à deux degrés de liberté.
• Il existe une position (a) d’équilibre stable pour l’angle θ = 0, pour laquelle une
impulsion d’entrée x(t) = δ(t) est suivie d’un retour à la même position d’équilibre. Une linéarisation du système autour de cette position conduit à l’étude d’un
système linéaire stable.
• Il existe une position (b) d’équilibre instable pour l’angle θ = π, pour laquelle une
impulsion d’entrée x(t) = δ(t) écarte la tige 3 de sa position d’équilibre pour ne
plus y revenir. Une linéarisation du système autour de cette position conduit à l’étude d’un système linéaire instable.
• D’autres positions (c) peuvent sembler stables, mais elles ne correspondent pas à
des positions d’équilibre car elles exigent une entrée x(t) particulière.
t
x (t) (t)
t
x (t) (t)
0
π
t
x (t) (t)
1
0
x = a t
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
(a)
(b)
(c)
Figure 4.21 Différentes positions d’équilibre.
Pour l’étude des servomécanismes, on adopte une définition de la stabilité indépendante de la notion d’équilibre. On s’intéresse aux amplitudes de variation des grandeurs entrée et de sortie et on se limite à des quantités bornées.
Définition
Un système est stable si, et seulement si, à n’importe quelle entrée évoluant dans un
intervalle borné correspond une sortie évoluant dans un intervalle borné.
Lorsqu’on s’intéresse à un système réel,
non linéaire, que l’on fait fonctionner
autour d’un point d’équilibre particulier,
il est possible de linéariser les équations
régissant son comportement au
voisinage de ce point et de se ramener
à un modèle linéaire, dont le domaine
de validité est certes limité, mais qui
peut être étudié avec les outils des
systèmes linéaires continus invariants.
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Géométrie
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