Chapitre 4 • Systèmes asservis – Stabilité des sytèmes
130
4.1.5 Ordre et classe d’un système asservi
Soit un système asservi à retour unitaire dont on écrit la fonction de transfert en boucle
ouverte F( p) sous la forme particulière suivante.
F( p) =
N ( p)
D( p)
=
K (1 + b 1 p + . . . + b m p m )
p α (1 + a 1 p + . . . + a k p k )
Remarque
Les servomécanismes sont tels que α + k m, avec α 0.
Au numérateur et au dénominateur, les polynômes commencent alors par « 1 + . . . » et
trois caractéristiques du système asservi sont immédiates :
• le réel K est appelé gain statique de la FTBO ;
• l’entier α est appelé la classe du système, avec α 0 ;
• l’entier n = α + k est l’ordre du système.
Définitions
On appelle ordre d’un système le degré du dénominateur de sa fonction de transfert.
On appelle classe d’un système la puissance du terme en p mis en facteur au dénominateur de sa fonction de transfert.
Dans le cas d’un système asservi à retour unitaire, la fonction de transfert en boucle
fermée se calcule par
H ( p) =
F( p)
1 + F( p)
=
N ( p)
D( p) + N ( p)
On en déduit immédiatement que la FTBF est de même ordre que la FTBO, et toujours
de classe nulle.
Compte tenu de ce résultat, on en conclut ce qu’il importe d’identifier :
• d’une part l’ordre du système, qu’il soit asservi ou non ;
• d’autre part la classe de la FTBO dans le cas d’un système asservi.
4.2 Stabilité des systèmes asservis
La stabilité est une performance à satisfaire en priorité pour un système, car un système instable est inutilisable.
• Pour les systèmes commandés intrinsèquement stables, les transformer en systèmes asservis permet d’améliorer leurs performances en terme de précision et de
rapidité, mais peut conduire à les rendre instables.
• Pour un système a priori instable, donc non utilisé en tant que système commandé, le transformer en système asservi permet d’obtenir un
système stable.
Exemple
Comment rester en équilibre ou se déplacer sur deux roues
sans effort et sans craindre la chute ? Il suffit de prendre un
SEGWAY. C’est au départ un système instable : une plateforme, deux roues et deux moteurs. L’utilisation d’un système asservi judicieusement conçu a permis de passer
d’une utopie à un moyen de transport bien réel.
Les systèmes continus linéaires et
invariants sont régis par des équations
différentielles linéaires à coefficients
constants.
La puissance du terme en p mis en
facteur au dénominateur d’une FTBO
correspond au nombre d’intégrations
effectuées en boucle ouverte.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:57 Page 130
130
4.1.5 Ordre et classe d’un système asservi
Soit un système asservi à retour unitaire dont on écrit la fonction de transfert en boucle
ouverte F( p) sous la forme particulière suivante.
F( p) =
N ( p)
D( p)
=
K (1 + b 1 p + . . . + b m p m )
p α (1 + a 1 p + . . . + a k p k )
Remarque
Les servomécanismes sont tels que α + k m, avec α 0.
Au numérateur et au dénominateur, les polynômes commencent alors par « 1 + . . . » et
trois caractéristiques du système asservi sont immédiates :
• le réel K est appelé gain statique de la FTBO ;
• l’entier α est appelé la classe du système, avec α 0 ;
• l’entier n = α + k est l’ordre du système.
Définitions
On appelle ordre d’un système le degré du dénominateur de sa fonction de transfert.
On appelle classe d’un système la puissance du terme en p mis en facteur au dénominateur de sa fonction de transfert.
Dans le cas d’un système asservi à retour unitaire, la fonction de transfert en boucle
fermée se calcule par
H ( p) =
F( p)
1 + F( p)
=
N ( p)
D( p) + N ( p)
On en déduit immédiatement que la FTBF est de même ordre que la FTBO, et toujours
de classe nulle.
Compte tenu de ce résultat, on en conclut ce qu’il importe d’identifier :
• d’une part l’ordre du système, qu’il soit asservi ou non ;
• d’autre part la classe de la FTBO dans le cas d’un système asservi.
4.2 Stabilité des systèmes asservis
La stabilité est une performance à satisfaire en priorité pour un système, car un système instable est inutilisable.
• Pour les systèmes commandés intrinsèquement stables, les transformer en systèmes asservis permet d’améliorer leurs performances en terme de précision et de
rapidité, mais peut conduire à les rendre instables.
• Pour un système a priori instable, donc non utilisé en tant que système commandé, le transformer en système asservi permet d’obtenir un
système stable.
Exemple
Comment rester en équilibre ou se déplacer sur deux roues
sans effort et sans craindre la chute ? Il suffit de prendre un
SEGWAY. C’est au départ un système instable : une plateforme, deux roues et deux moteurs. L’utilisation d’un système asservi judicieusement conçu a permis de passer
d’une utopie à un moyen de transport bien réel.
Les systèmes continus linéaires et
invariants sont régis par des équations
différentielles linéaires à coefficients
constants.
La puissance du terme en p mis en
facteur au dénominateur d’une FTBO
correspond au nombre d’intégrations
effectuées en boucle ouverte.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
9782100534197-Mosser-C04.qxd 14/12/09 7:57 Page 130