En supposant de plus le terme I K x ˙
ψ
2 négligeable devant 2kh
2 ,
la loi entrée-sortie recherchée prend une forme linéaire
θ =
I K y ˙
ϕ
2kh 2
˙
ψ
(5)
10. Avec les valeurs numériques données, le terme I K x ˙
ψ
2 reste
inférieur à 1 % du terme 2kh
2 jusqu’à une valeur pour le taux
de rotation ˙
ψ de 1,4 rd/s . [13,3 tr/mn]
La relation 5 donne
˙
ψ M AX =
2kh
2
I K y ˙
ϕ
θ M AX
On effectue l’application numérique
˙
ψ M AX = 0,09 rd/s [0,86 tr/mn]
Ce dernier résultat justifie les hypothèses posées.
On en déduit, en notant v la vitesse de translation courante
E((/R g ) =
1
2
(m 2 + m 3 ) v
2
4. La puissance galiléenne des efforts de pesanteur sur le système comprend deux termes que l’on détaille :
• l’ensemble 2 considéré solide des masses qui montent ;
V(2/1) =
0
v
x
F( p → 2) = G 2
−m 2 g
y 0
0
• l’ensemble 3 considéré solide des masses qui descendent.
V(3/1) =
0
−v
x
F( p → 3) = G 3
−m 3 g
y 0
0
On en déduit l’expression de la puissance galiléenne des efforts de pesanteur sur le système
Pg( p → ) = (−m 2 + m 3 )g sin α v
Après substitution, on obtient
Pg( p → ) = −n c m p g sin α v
5. Soient M k et D k respectivement les points de contact entre
le pylône P k et les câbles 2 et 3. Il y a glissement à chaque point
de contact et on constate
• pour les masses montantes :
V(2/1) =
0
v
x
F(P k → 2) = M k
N mk
y − f N mk
x
0
• pour les masses descendantes :
V(3/1) =
0
−v
x
F(P k → 3) = D k
N dk
y + f N dk
x
0
La puissance galiléenne développée par les actions mécaniques de l’ensemble des pylônes P sur le brin de câble montant est alors
Pg(P → 2) =
12
k=1
−v f N mk = −v f
12
k=1
N mk
La puissance galiléenne développée par les actions mécaniques de l’ensemble des pylônes P sur le brin de câble descendant est alors
Pg(P → 3) =
12
k=1
−v f N dk = −v f
12
k=1
N dk
Les résultantes des actions mécaniques normales s’évaluent à
partir des équations de résultante dynamique obtenues respectivement lors de l’étude des mouvements 2/1 et 3/1 :
• concernant le mouvement 2/1 ;
12
k=1
N mk − m 2 g
y 0 . y = 0
• concernant le mouvement 3/1 ;
12
k=1
N dk − m 3 g
y 0 . y = 0
118
Exercices
d’approfondissement
3.6
Pour expliciter les calculs, on note :
• le sol 1, supposé galiléen ;
• tout ce qui monte 2, de masse totale m 2 ;
• tout ce qui descend 3, de masse m 3 ;
• la poulie et le brin de câble enroulé aval 4 ;
• la poulie et le brin de câble enroulé amont 5.
1. La masse de câble enroulée m e est évaluée à partir du demipérimètre d’une des poulies
m e = µπ R
A.N. m e ≈ 250 kg
La masse d’un des deux brins tendus m b s’évalue à partir de la
longueur de la ligne
m b = µL
A.N . m b = 24 000 kg
La masse de câble enroulé représente environ un pour cent de
la masse totale et peut être négligée.
2. L’accélération moyenne a des cabines lors d’un redémarrage
s’exprime en fonction de la variation de vitesse demandée
a =
V
t
A.N . a = 1.2 ms
−2
3. L’énergie cinétique galiléenne du système matériel
= {2,3,4,5} est la somme des énergies cinétiques galiléennes
de chacun des éléments
E((/R g ) =
5
i=2
E(i/R g )
En tenant compte de l’évaluation des masses faite précédemment, on retient uniquement
• ce qui monte, en translation rectiligne et de masse m 2 ;
m 2 = n c (m c + m p ) + µL
• ce qui descend, en translation rectiligne et de masse m 3 .
m 3 = n c m c + µL
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ψ
2 négligeable devant 2kh
2 ,
la loi entrée-sortie recherchée prend une forme linéaire
θ =
I K y ˙
ϕ
2kh 2
˙
ψ
(5)
10. Avec les valeurs numériques données, le terme I K x ˙
ψ
2 reste
inférieur à 1 % du terme 2kh
2 jusqu’à une valeur pour le taux
de rotation ˙
ψ de 1,4 rd/s . [13,3 tr/mn]
La relation 5 donne
˙
ψ M AX =
2kh
2
I K y ˙
ϕ
θ M AX
On effectue l’application numérique
˙
ψ M AX = 0,09 rd/s [0,86 tr/mn]
Ce dernier résultat justifie les hypothèses posées.
On en déduit, en notant v la vitesse de translation courante
E((/R g ) =
1
2
(m 2 + m 3 ) v
2
4. La puissance galiléenne des efforts de pesanteur sur le système comprend deux termes que l’on détaille :
• l’ensemble 2 considéré solide des masses qui montent ;
V(2/1) =
0
v
x
F( p → 2) = G 2
−m 2 g
y 0
0
• l’ensemble 3 considéré solide des masses qui descendent.
V(3/1) =
0
−v
x
F( p → 3) = G 3
−m 3 g
y 0
0
On en déduit l’expression de la puissance galiléenne des efforts de pesanteur sur le système
Pg( p → ) = (−m 2 + m 3 )g sin α v
Après substitution, on obtient
Pg( p → ) = −n c m p g sin α v
5. Soient M k et D k respectivement les points de contact entre
le pylône P k et les câbles 2 et 3. Il y a glissement à chaque point
de contact et on constate
• pour les masses montantes :
V(2/1) =
0
v
x
F(P k → 2) = M k
N mk
y − f N mk
x
0
• pour les masses descendantes :
V(3/1) =
0
−v
x
F(P k → 3) = D k
N dk
y + f N dk
x
0
La puissance galiléenne développée par les actions mécaniques de l’ensemble des pylônes P sur le brin de câble montant est alors
Pg(P → 2) =
12
k=1
−v f N mk = −v f
12
k=1
N mk
La puissance galiléenne développée par les actions mécaniques de l’ensemble des pylônes P sur le brin de câble descendant est alors
Pg(P → 3) =
12
k=1
−v f N dk = −v f
12
k=1
N dk
Les résultantes des actions mécaniques normales s’évaluent à
partir des équations de résultante dynamique obtenues respectivement lors de l’étude des mouvements 2/1 et 3/1 :
• concernant le mouvement 2/1 ;
12
k=1
N mk − m 2 g
y 0 . y = 0
• concernant le mouvement 3/1 ;
12
k=1
N dk − m 3 g
y 0 . y = 0
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Exercices
d’approfondissement
3.6
Pour expliciter les calculs, on note :
• le sol 1, supposé galiléen ;
• tout ce qui monte 2, de masse totale m 2 ;
• tout ce qui descend 3, de masse m 3 ;
• la poulie et le brin de câble enroulé aval 4 ;
• la poulie et le brin de câble enroulé amont 5.
1. La masse de câble enroulée m e est évaluée à partir du demipérimètre d’une des poulies
m e = µπ R
A.N. m e ≈ 250 kg
La masse d’un des deux brins tendus m b s’évalue à partir de la
longueur de la ligne
m b = µL
A.N . m b = 24 000 kg
La masse de câble enroulé représente environ un pour cent de
la masse totale et peut être négligée.
2. L’accélération moyenne a des cabines lors d’un redémarrage
s’exprime en fonction de la variation de vitesse demandée
a =
V
t
A.N . a = 1.2 ms
−2
3. L’énergie cinétique galiléenne du système matériel
= {2,3,4,5} est la somme des énergies cinétiques galiléennes
de chacun des éléments
E((/R g ) =
5
i=2
E(i/R g )
En tenant compte de l’évaluation des masses faite précédemment, on retient uniquement
• ce qui monte, en translation rectiligne et de masse m 2 ;
m 2 = n c (m c + m p ) + µL
• ce qui descend, en translation rectiligne et de masse m 3 .
m 3 = n c m c + µL
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