5. Matrice d’inertie de la toupie 3 calculée au point K
I (K ,3) =
I K x
0
0
0
I K y
0
0
0
I K x
( x 2 , y 2 , z 2 )
Moments d’inertie I K x et I K y en fonction de m, M , D et L.
La toupie 3 est une pièce de révolution d’axe (K , y 3 ), donc la
forme proposée convient dans la base ( x 3 , y 3 , z 3 ) , de même que
dans toute base construite à partir du vecteur
y 3 . La liaison pivot
entre 2 et 3 impose l’égalité des vecteurs
y 2 et
y 3 à chaque instant, donc la forme proposée convient dans la base ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Concernant le calcul des moments d’inertie principaux :
• l’axe est une tige de masse m et de longueur 2L orientée par
y 2 . On en déduit les deux valeurs
A K y = 0
A K x = m
L
2
3
• en ne considérant qu’un seul des deux disques, de centre C,
de diamètre D et de masse M , on a comme résultat élémentaire
B Cy =
1
2
M
D
2
4
B Cx =
1
4
M
D
2
4
À l’aide du théorème de HUYGENS, on en déduit
B K y = B Cy =
1
8
M D
2
B K x = B Cx + M L
2 = M
L
2 +
D
2
16
Comme la toupie est composée d’un axe et de deux disques,
on en déduit les deux valeurs recherchées
I K y = M
D
2
4
I K x = m
L
2
3
+ M
2L
2 +
D
2
8
Applications numériques :
I K y = 1,31 10
−5 kg m
2
I K x = 2,36 10
−5 kg m
2
6. La masse et l’inertie de la pièce intermédiaire 2 étant négligeables devant celles de la toupie 3, on en déduit l’égalité des
deux moments dynamiques
δ(K ,,/0) =
δ(K ,3/0)
Le point K étant fixe dans le référentiel galiléen, on a
δ(K ,3/0) =
d
dt
σ (K ,3/0)
0
La toupie 3 est un solide indéformable et le point K est toujours immobile dans le référentiel galiléen, on a donc
σ (K ,3/0) = I (K ,3)
− →
(3/0)
Il suffit donc de déterminer la valeur du vecteur rotation
− →
(3/0) dans la base 2 pour lancer les calculs
− →
(3/0) = ˙
ϕ y 2 + ˙
θ x 1 + ˙
ψ z 0
= ˙
θ x 2 +
˙
ϕ + ˙
ψ sin θ
y 2 + ˙
ψ cos θ z 2
On obtient ainsi, tout calcul fait :
δ(K ,,/0) =
−I K y ˙
ψ cos θ( ˙
ϕ + ˙
ψ sin θ) + I K x ( ¨
θ + ˙
ψ
2 sin θ cos θ)
x 2
+I K y ( ¨
ψ sin θ + ˙
ψ ˙
θ cos θ) y 2
+
I K y ˙
θ( ˙
ϕ + ˙
ψ sin θ) + I K x ( ¨
ψ cos θ − 2 ˙
ψ ˙
θ sin θ)
z 2
7. Pour un angle θ petit devant 1, les approximations usuelles
sont sin θ ≈ θ et cos θ ≈ 1. De plus, pour un taux de rotation
˙
ψ petit devant ˙
ϕ , le terme ˙
ψ sin θ est négligeable devant ˙
ϕ .
δ(K ,,/0) ≈
−I K y ˙
ψ ˙
ϕ + I K x
¨
θ + ˙
ψ
2 θ
x 2
+ I K y
¨
ψθ + ˙
ψ ˙
θ
y 2
+
I K y ˙
θ ˙
ϕ + I K x
¨
ψ − 2 ˙
ψ ˙
θθ
z 2
On en déduit la composante du moment dynamique recherchée
x 2 . δ(K ,,/0) = −I K y ˙
ψ ˙
ϕ + I K x
¨
θ + ˙
ψ
2 θ
(3)
8. Le seul moment suivant
x 2 appliqué au système est issu de
l’action mécanique du ressort 4 sur l’axe 2.
Au point B sont accrochés deux ressorts, de longueur à vide
L 0 , de longueur au repos L. Le point B se déplace d’une longueur hθ, approximation de h tan θ.
117
y 1
z 1
y 2
z 2
A
B 0
B
F (1 4d) = F (4 d 2)
F (1 4g) = F (4 g 2)
L
L
θ
h
→
→
θ
→
→
θ
Pour un ressort, la force de rappel est proportionnelle à la différence entre la longueur courante et la longueur à vide.
F(4g → 2)
= −k ((L − hθ) − L 0 )
y 1
F(4d → 2) = −k ((L + hθ) − L 0 ) (−− y 1 )
On en déduit l’expression de la force de rappel due aux deux
ressorts
F(4 → 2) =
F(4g → 2) +
F(4d → 2) = 2khθ
y 1
Le torseur des actions mécaniques F(4 → 2) est alors un glisseur d’expression
F(4 → 2) = B
2hkθ
y 1
0
On en déduit la valeur de la composante recherchée
x 2 .
M(K , ¯
→ ) = −2kh
2 θ
(4)
9. Les équations 3 et 4 permettent d’écrire la loi du mouvement.
−I K y ˙
ψ ˙
ϕ + I K x
¨
θ + ˙
ψ
2 θ
= −2kh
2 θ
En régime permanent, l’angle θ se stabilise à une valeur qui dépend des fréquences de rotation ˙
ψ et ˙
ϕ , constantes
θ =
I K y ˙
ψ ˙
ϕ
2kh 2 + I K x ˙
ψ
2
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I (K ,3) =
I K x
0
0
0
I K y
0
0
0
I K x
( x 2 , y 2 , z 2 )
Moments d’inertie I K x et I K y en fonction de m, M , D et L.
La toupie 3 est une pièce de révolution d’axe (K , y 3 ), donc la
forme proposée convient dans la base ( x 3 , y 3 , z 3 ) , de même que
dans toute base construite à partir du vecteur
y 3 . La liaison pivot
entre 2 et 3 impose l’égalité des vecteurs
y 2 et
y 3 à chaque instant, donc la forme proposée convient dans la base ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Concernant le calcul des moments d’inertie principaux :
• l’axe est une tige de masse m et de longueur 2L orientée par
y 2 . On en déduit les deux valeurs
A K y = 0
A K x = m
L
2
3
• en ne considérant qu’un seul des deux disques, de centre C,
de diamètre D et de masse M , on a comme résultat élémentaire
B Cy =
1
2
M
D
2
4
B Cx =
1
4
M
D
2
4
À l’aide du théorème de HUYGENS, on en déduit
B K y = B Cy =
1
8
M D
2
B K x = B Cx + M L
2 = M
L
2 +
D
2
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Comme la toupie est composée d’un axe et de deux disques,
on en déduit les deux valeurs recherchées
I K y = M
D
2
4
I K x = m
L
2
3
+ M
2L
2 +
D
2
8
Applications numériques :
I K y = 1,31 10
−5 kg m
2
I K x = 2,36 10
−5 kg m
2
6. La masse et l’inertie de la pièce intermédiaire 2 étant négligeables devant celles de la toupie 3, on en déduit l’égalité des
deux moments dynamiques
δ(K ,,/0) =
δ(K ,3/0)
Le point K étant fixe dans le référentiel galiléen, on a
δ(K ,3/0) =
d
dt
σ (K ,3/0)
0
La toupie 3 est un solide indéformable et le point K est toujours immobile dans le référentiel galiléen, on a donc
σ (K ,3/0) = I (K ,3)
− →
(3/0)
Il suffit donc de déterminer la valeur du vecteur rotation
− →
(3/0) dans la base 2 pour lancer les calculs
− →
(3/0) = ˙
ϕ y 2 + ˙
θ x 1 + ˙
ψ z 0
= ˙
θ x 2 +
˙
ϕ + ˙
ψ sin θ
y 2 + ˙
ψ cos θ z 2
On obtient ainsi, tout calcul fait :
δ(K ,,/0) =
−I K y ˙
ψ cos θ( ˙
ϕ + ˙
ψ sin θ) + I K x ( ¨
θ + ˙
ψ
2 sin θ cos θ)
x 2
+I K y ( ¨
ψ sin θ + ˙
ψ ˙
θ cos θ) y 2
+
I K y ˙
θ( ˙
ϕ + ˙
ψ sin θ) + I K x ( ¨
ψ cos θ − 2 ˙
ψ ˙
θ sin θ)
z 2
7. Pour un angle θ petit devant 1, les approximations usuelles
sont sin θ ≈ θ et cos θ ≈ 1. De plus, pour un taux de rotation
˙
ψ petit devant ˙
ϕ , le terme ˙
ψ sin θ est négligeable devant ˙
ϕ .
δ(K ,,/0) ≈
−I K y ˙
ψ ˙
ϕ + I K x
¨
θ + ˙
ψ
2 θ
x 2
+ I K y
¨
ψθ + ˙
ψ ˙
θ
y 2
+
I K y ˙
θ ˙
ϕ + I K x
¨
ψ − 2 ˙
ψ ˙
θθ
z 2
On en déduit la composante du moment dynamique recherchée
x 2 . δ(K ,,/0) = −I K y ˙
ψ ˙
ϕ + I K x
¨
θ + ˙
ψ
2 θ
(3)
8. Le seul moment suivant
x 2 appliqué au système est issu de
l’action mécanique du ressort 4 sur l’axe 2.
Au point B sont accrochés deux ressorts, de longueur à vide
L 0 , de longueur au repos L. Le point B se déplace d’une longueur hθ, approximation de h tan θ.
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y 1
z 1
y 2
z 2
A
B 0
B
F (1 4d) = F (4 d 2)
F (1 4g) = F (4 g 2)
L
L
θ
h
→
→
θ
→
→
θ
Pour un ressort, la force de rappel est proportionnelle à la différence entre la longueur courante et la longueur à vide.
F(4g → 2)
= −k ((L − hθ) − L 0 )
y 1
F(4d → 2) = −k ((L + hθ) − L 0 ) (−− y 1 )
On en déduit l’expression de la force de rappel due aux deux
ressorts
F(4 → 2) =
F(4g → 2) +
F(4d → 2) = 2khθ
y 1
Le torseur des actions mécaniques F(4 → 2) est alors un glisseur d’expression
F(4 → 2) = B
2hkθ
y 1
0
On en déduit la valeur de la composante recherchée
x 2 .
M(K , ¯
→ ) = −2kh
2 θ
(4)
9. Les équations 3 et 4 permettent d’écrire la loi du mouvement.
−I K y ˙
ψ ˙
ϕ + I K x
¨
θ + ˙
ψ
2 θ
= −2kh
2 θ
En régime permanent, l’angle θ se stabilise à une valeur qui dépend des fréquences de rotation ˙
ψ et ˙
ϕ , constantes
θ =
I K y ˙
ψ ˙
ϕ
2kh 2 + I K x ˙
ψ
2
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