Sachant qu’à l’instant initial la vitesse angulaire ˙
θ est nulle, ce
résultat entraîne plusieurs commentaires :
• la mise en rotation n’a lieu que si le rayon d’enroulement r
est plus petit que le rayon extérieur R ;
• comme r < R et F 0 , l’accélération angulaire ¨
θ est négative. On en déduit que la bobine enroule le fil que l’on tend ;
• le terme J + m R
2 correspond au moment d’inertie de la bobine par rapport à l’axe (I, z 1 ) ;
• il est possible de calculer l’accélération maximale possible
pour qu’il n’y ait pas de glissement.
7. Si on suppose le contact sans frottement, la composante tangentielle T est nulle et le système d’équations issu du PFD devient
F
= m ¨
x
N − mg = 0
r F
= J ¨
θ
Les deux accélérations ¨
x et ¨
θ sont de même signe, la bobine
se met à glisser et le fil se déroule.
8. On pose pour la suite un angle α entre l’horizontale et la direction du fil.
1. On trace les figures de définition des angles
116
x 1
y 1
x 3
x 2
y 2
R
r
2
3
A
I
E
C
θ
α
9. L’expérience effectuée permet d’affirmer que la valeur recherchée pour l’angle α existe. En effet, la bobine enroule le
fil pour α = 0 et le déroule pour α = 90°. Lorsque l’on passe
continuement de la première valeur à la seconde, on va observer une position pour laquelle la bobine ne tourne plus. La solution se détermine à partir du système d’équations suivant :
F cos α + T
= m ¨
x
F sin α + N − mg = 0
RT + r F
= J ¨
θ
On en déduit
¨
θ =
−F(R cos α − r)
J + m R 2
La valeur recherchée pour l’angle α est telle que
cos α =
r
R
Cette valeur correspond au prolongement du fil passant par le
point I
R
r
I
E
C
α
3.5
z 0 = z 1
x 0
y 0
x 1
y 1
x 1 = x 2
y 1
z 1
y 2
z 2
y 2 = y 3
z 2
x 2
z 3
x 3
ψ
θ
ϕ
2. Graphe des liaisons
0
1
2
3
P ( z 0 )
P ( x 1 )
P ( y 2 )
V(1/0) = K
˙ z 0
0
V(2/1) = K
˙
θ
x 1
0
V(3/2) = K
˙
ϕ
y 2
0
3. Torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons
supposées parfaites.
F(0 → 1) =
R(0 → 1)
M(K ,0 → 1), avec
M(K ,0 → 1). z 0 = 0
F(1 → 2) =
R(1 → 2)
M(K ,1 → 2), avec
M(K ,1 → 2). x 1 = 0
F(2 → 3) =
R(2 → 3)
M(K ,2 → 3), avec
M(K ,2 → 3). y 2 = 0
4. Les différents mouvements possibles à étudier peuvent être
détaillés dans un tableau. Les actions de la pesanteur et de l’air
sont négligées dans cette étude.
Ajouter le support 1 à ce tableau ne présente aucun intérêt, car
le transfert d’énergie provoquant son mouvement dans le référentiel galiléen est d’origine inconnue.
2/0
– Support 1
– Toupie 3
– Moteur
– Ressorts
10
2
Pas d’équation
scalaire évitant
les dix inconnues
de liaison
3/0
– Axe 2
– Moteur
5
1
Utile pour déterminer le couple
moteur avec
l’équation de
moment en K
scalaire
y 2 ou
y 3
{2,3}/0
– Support 1
– Ressorts
5
1
Équation de
moment en K
scalaire
x 1 ou
x 2
Mvts
Milieu
environnant
Inconnues
de liaison
Inconnues
autres
Commentaire
˙
ψ
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θ est nulle, ce
résultat entraîne plusieurs commentaires :
• la mise en rotation n’a lieu que si le rayon d’enroulement r
est plus petit que le rayon extérieur R ;
• comme r < R et F 0 , l’accélération angulaire ¨
θ est négative. On en déduit que la bobine enroule le fil que l’on tend ;
• le terme J + m R
2 correspond au moment d’inertie de la bobine par rapport à l’axe (I, z 1 ) ;
• il est possible de calculer l’accélération maximale possible
pour qu’il n’y ait pas de glissement.
7. Si on suppose le contact sans frottement, la composante tangentielle T est nulle et le système d’équations issu du PFD devient
F
= m ¨
x
N − mg = 0
r F
= J ¨
θ
Les deux accélérations ¨
x et ¨
θ sont de même signe, la bobine
se met à glisser et le fil se déroule.
8. On pose pour la suite un angle α entre l’horizontale et la direction du fil.
1. On trace les figures de définition des angles
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x 1
y 1
x 3
x 2
y 2
R
r
2
3
A
I
E
C
θ
α
9. L’expérience effectuée permet d’affirmer que la valeur recherchée pour l’angle α existe. En effet, la bobine enroule le
fil pour α = 0 et le déroule pour α = 90°. Lorsque l’on passe
continuement de la première valeur à la seconde, on va observer une position pour laquelle la bobine ne tourne plus. La solution se détermine à partir du système d’équations suivant :
F cos α + T
= m ¨
x
F sin α + N − mg = 0
RT + r F
= J ¨
θ
On en déduit
¨
θ =
−F(R cos α − r)
J + m R 2
La valeur recherchée pour l’angle α est telle que
cos α =
r
R
Cette valeur correspond au prolongement du fil passant par le
point I
R
r
I
E
C
α
3.5
z 0 = z 1
x 0
y 0
x 1
y 1
x 1 = x 2
y 1
z 1
y 2
z 2
y 2 = y 3
z 2
x 2
z 3
x 3
ψ
θ
ϕ
2. Graphe des liaisons
0
1
2
3
P ( z 0 )
P ( x 1 )
P ( y 2 )
V(1/0) = K
˙ z 0
0
V(2/1) = K
˙
θ
x 1
0
V(3/2) = K
˙
ϕ
y 2
0
3. Torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons
supposées parfaites.
F(0 → 1) =
R(0 → 1)
M(K ,0 → 1), avec
M(K ,0 → 1). z 0 = 0
F(1 → 2) =
R(1 → 2)
M(K ,1 → 2), avec
M(K ,1 → 2). x 1 = 0
F(2 → 3) =
R(2 → 3)
M(K ,2 → 3), avec
M(K ,2 → 3). y 2 = 0
4. Les différents mouvements possibles à étudier peuvent être
détaillés dans un tableau. Les actions de la pesanteur et de l’air
sont négligées dans cette étude.
Ajouter le support 1 à ce tableau ne présente aucun intérêt, car
le transfert d’énergie provoquant son mouvement dans le référentiel galiléen est d’origine inconnue.
2/0
– Support 1
– Toupie 3
– Moteur
– Ressorts
10
2
Pas d’équation
scalaire évitant
les dix inconnues
de liaison
3/0
– Axe 2
– Moteur
5
1
Utile pour déterminer le couple
moteur avec
l’équation de
moment en K
scalaire
y 2 ou
y 3
{2,3}/0
– Support 1
– Ressorts
5
1
Équation de
moment en K
scalaire
x 1 ou
x 2
Mvts
Milieu
environnant
Inconnues
de liaison
Inconnues
autres
Commentaire
˙
ψ
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