3. Après substitution des différentes termes dans l’équation (1),
on obtient la première forme de ce que l’on cherche
m ¨
y = −mg − k(y − x − a) − µ( ˙
y − ˙
x)
À l’équilibre, on a en particulier
0 = −mg − k(y e − x e − a)
La soustraction membre à membre de ces deux dernières équations permet d’écrire
m ¨
y = −k ((y − y e ) − (x − x e )) − µ( ˙
y − ˙
x)
On prend comme origines x e et y e respectivement pour x et y,
interprétation du changement de variables à effectuer
Dans ce dernier cas, la formule de changement de point sur le
mouvement 2/1 permet de trouver
˙
x = −R ˙
θ
3. L’inventaire du milieu environnant ¯
2 conduit à retenir :
• le sol 1 ;
• la pesanteur p ;
• le fil 3.
On pose alors les torseurs d’actions mécaniques transmissibles correspondants ;
F(1 → 2) = I
N
y 1 + T
x 1
0
, avec
T
N
f
F( p → 2) = G
−mg
y 1
0
F(3 → 2) = E
F
x 1
0
, avec F 0
4. On évalue les éléments de réduction du torseur dynamique
D(2/1) au centre d’inertie G de la bobine.
• pour la résultante dynamique :
m
A(G,2/1) = m
d
dt
V (G,2/1)
0
= m ¨
x
x 1
• pour la composante suivante z 1 du moment dynamique au
centre d’inertie :
z 1 .
δ(G,2/1) = = z 1 .
d
dt
I (G,2)
(2/1)
0
= J ¨
θ
5. On étudie le mouvement de la bobine par rapport au support supposé assimilable à un repère galiléen. Le principe fondamental de la dynamique s’exprime alors par
F( ¯
2 → 2) = D(2/1)
On obtient alors un système de trois équations à cinq inconnues
F + T
= m ¨
x
N − mg
= 0
RT + r F = J ¨
θ
Ce système d’équations est à compléter avec la relation cinématique calculée tant que l’on a roulement sans glissement
¨
x = −R ¨
θ
6. On trouve en conséquence comme expression pour l’accélération angulaire ¨
θ
¨
θ =
−F(R − r)
J + m R 2
115
k
µ
z 1
1
2
3
y(t)
y e
x (t) x e
On obtient ainsi la forme finale de l’équation différentielle du
mouvement
m ¨
y + µ ˙
y + ky = µ ˙
x + kx
(2)
4. On suppose les conditions initiales nulles et on applique la
transformée de LAPLACE à l’équation (2) pour obtenir
mp
2 Y ( p) + µpY ( p) + kY ( p) = µpX ( p) + k X ( p)
Le comportement de cette suspension est décrit par la fonction
de transfert
H ( p) =
Y ( p)
X ( p)
=
µp + k
mp 2 + µp + k
On constate que cette dernière est de la forme
H ( p) =
Y ( p)
X ( p)
=
1 +
2ξ
ω 0
p
1 +
2ξ
ω 0
p +
p
2
ω
2
0
Cet exercice est facile lorque l’on met en œuvre méthode et rigueur. Chaque concept nécessaire est abordé de manière élémentaire. Il s’agit de faire la synthèse des différentes compétences du mécanicien.
1. Le schéma est demandé dans le plan (A, x 1 , y 1 ). On choisit
d’orienter le brin tendu du fil suivant ++ x 1 (voir figure ci-contre).
2. On s’intéresse au seul mouvement plan constaté et on pose
V(2/1) = G
˙
θ z 1
˙
x
x 1
Si le mouvement observé est du roulement sans glissement au
point I, alors on a de plus
V (I,2/1) =
0
x 1
y 1
x 2
y 2
R
r
2
3
A
I
E
G
θ
3.4
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on obtient la première forme de ce que l’on cherche
m ¨
y = −mg − k(y − x − a) − µ( ˙
y − ˙
x)
À l’équilibre, on a en particulier
0 = −mg − k(y e − x e − a)
La soustraction membre à membre de ces deux dernières équations permet d’écrire
m ¨
y = −k ((y − y e ) − (x − x e )) − µ( ˙
y − ˙
x)
On prend comme origines x e et y e respectivement pour x et y,
interprétation du changement de variables à effectuer
Dans ce dernier cas, la formule de changement de point sur le
mouvement 2/1 permet de trouver
˙
x = −R ˙
θ
3. L’inventaire du milieu environnant ¯
2 conduit à retenir :
• le sol 1 ;
• la pesanteur p ;
• le fil 3.
On pose alors les torseurs d’actions mécaniques transmissibles correspondants ;
F(1 → 2) = I
N
y 1 + T
x 1
0
, avec
T
N
f
F( p → 2) = G
−mg
y 1
0
F(3 → 2) = E
F
x 1
0
, avec F 0
4. On évalue les éléments de réduction du torseur dynamique
D(2/1) au centre d’inertie G de la bobine.
• pour la résultante dynamique :
m
A(G,2/1) = m
d
dt
V (G,2/1)
0
= m ¨
x
x 1
• pour la composante suivante z 1 du moment dynamique au
centre d’inertie :
z 1 .
δ(G,2/1) = = z 1 .
d
dt
I (G,2)
(2/1)
0
= J ¨
θ
5. On étudie le mouvement de la bobine par rapport au support supposé assimilable à un repère galiléen. Le principe fondamental de la dynamique s’exprime alors par
F( ¯
2 → 2) = D(2/1)
On obtient alors un système de trois équations à cinq inconnues
F + T
= m ¨
x
N − mg
= 0
RT + r F = J ¨
θ
Ce système d’équations est à compléter avec la relation cinématique calculée tant que l’on a roulement sans glissement
¨
x = −R ¨
θ
6. On trouve en conséquence comme expression pour l’accélération angulaire ¨
θ
¨
θ =
−F(R − r)
J + m R 2
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k
µ
z 1
1
2
3
y(t)
y e
x (t) x e
On obtient ainsi la forme finale de l’équation différentielle du
mouvement
m ¨
y + µ ˙
y + ky = µ ˙
x + kx
(2)
4. On suppose les conditions initiales nulles et on applique la
transformée de LAPLACE à l’équation (2) pour obtenir
mp
2 Y ( p) + µpY ( p) + kY ( p) = µpX ( p) + k X ( p)
Le comportement de cette suspension est décrit par la fonction
de transfert
H ( p) =
Y ( p)
X ( p)
=
µp + k
mp 2 + µp + k
On constate que cette dernière est de la forme
H ( p) =
Y ( p)
X ( p)
=
1 +
2ξ
ω 0
p
1 +
2ξ
ω 0
p +
p
2
ω
2
0
Cet exercice est facile lorque l’on met en œuvre méthode et rigueur. Chaque concept nécessaire est abordé de manière élémentaire. Il s’agit de faire la synthèse des différentes compétences du mécanicien.
1. Le schéma est demandé dans le plan (A, x 1 , y 1 ). On choisit
d’orienter le brin tendu du fil suivant ++ x 1 (voir figure ci-contre).
2. On s’intéresse au seul mouvement plan constaté et on pose
V(2/1) = G
˙
θ z 1
˙
x
x 1
Si le mouvement observé est du roulement sans glissement au
point I, alors on a de plus
V (I,2/1) =
0
x 1
y 1
x 2
y 2
R
r
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