On en déduit par changement de point sur le mouvement 4/1
le vecteur vitesse au point K
V (K ,4/1) = 2u 21
x 1 = 2Rω
x 1
Le brin 6a de la courroie est accroché au vantail 3 et tendu suivant
x 1 , on en déduit
V (K ,3/1) =
V (K ,4/1)
Par substitution, on trouve l’expression de la vitesse de déplacement u 31
u 31
x 1 = 2u 21
x 1 = 2Rω
x 1
En position ouverte, les deux vantaux se trouvent superposés
du même côté du seuil. Lors de la fermeture, la porte 3 avance
par rapport au bâti 1 deux fois plus que la porte 2.
2. L’énergie cinétique du système dans son mouvement par
rapport au bâti 1 s’exprime comme la somme des énergies cinétiques de chacun de ses composants
E((/1) =
i
E(i/1)
Avec les données de l’énoncé, il y a trois termes à évaluer :
• le vantail 2 est en mouvement de translation rectiligne par rapport au bâti ;
E(2/1) =
1
2
Mu
2
21 =
1
2
M(Rω)
2
• le vantail 3 est en mouvement de translation rectiligne par rapport au bâti ;
E(3/1) =
1
2
Mu
2
31 =
1
2
M(2Rω)
2
• la seule variable cinématique du problème est ω que l’on met
en facteur de tous les termes supplémentaires
E ({4,5}/1) =
1
2
J ω
2
On en déduit l’expression de l’énergie cinétique totale
E((/1) =
1
2
J + 5M R
2
J eq
ω
2
On note J eq le moment d’inertie total J + 5M R
2 ramené à
l’arbre moteur, en remarquant que la porte 3 a une influence
quatre fois plus importante que la porte 2.
3. Le bâti 1 est assimilé à un repère galiléen et on exprime le
théorème de l’énergie cinétique appliqué au mouvement /1
d
dt
E((/1) =
i
Pg( ¯
→i) +
k>i
P(k↔i)
On dénombre tout d’abord les termes concernant la puissance
galiléenne des actions mécaniques extérieures à :
• la pesanteur, qui n’intervient pas dans ce problème ;
• les deux liaisons de type glissière avec le bâti, supposées sans
frottement ;
Pg(1 → 2) = 0
Pg(1 → 3) = 0
• l’action du brin 6b sur les poulies.
Pg(1 → 4) = 0
Pg(1 → 5) = 0
On dénombre ensuire les termes concernant la puissance des
interefforts :
• le couple moteur, exercé par le stator 2s sur le rotor 4m ;
Pg(2s↔4r) = C m ω
• la transmission par câble, supposée ne pas dissiper d’énergie.
P(4↔5) = 0
On somme tous ces termes en mettant ω en facteur et on dérive l’énergie cinétique pour arriver à l’expression
J eq ˙
ωω = C m ω
La simplification du terme ω est possible et l’expression finale
du couple moteur est :
C m =
J + 5M R
2
˙
ω
4. Le couple moteur n’est utile que pour la mise en mouvement
des portes.
1. Pour l’étude du mouvement 2/1, le milieu environnant
comprend quatre éléments :
• le bâti 1, par l’intermédiaire de la liaison glissière ;
• la pesanteur p ;
• le ressort r ;
• l’amortisseur a.
Le PFD fournit un système de 6 équations scalaires et on compte
5 inconnues de liaison.
2. La loi du mouvement est obtenue en évitant les cinq inconnues scalaires de la liaison glissière. On s’intéresse donc à l’équation de résultante obtenue par l’application du PFD à 2/1, scalaire z 1
m
A(G,2/1). z 1 =
R( ¯
2 → 2). z 1
(1)
On s’intéresse pour commencer aux quantités d’accélération
et on exprime la résultante dynamique
m
A(G,2/1) = m ¨
y z 1
On s’intéresse ensuite aux actions mécaniques, pour lesquelles
il suffit de modéliser les résultantes des torseurs correspondants,
et on reprend l’inventaire précédent pour cela :
• la pesanteur ;
R( p → 2) = −mg z 1
• le ressort, dont la force de rappel s’exprime en fonction de la
longueur courante l = y − x et la longueur à vide a ;
R(r → 2) = −k(y − x − a) z 1
• l’amortisseur, pour lequel intervient la vitesse relative de la
tige par rapport au corps.
R(a → 2) = −µ
V (P,2/3)
Une composition des vitesses permet de détailler
V (P,2/3)
V (P,2/3) =
V (P,3/1) −
V (P,2/1) = ( ˙
y − ˙
x) z 1
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le vecteur vitesse au point K
V (K ,4/1) = 2u 21
x 1 = 2Rω
x 1
Le brin 6a de la courroie est accroché au vantail 3 et tendu suivant
x 1 , on en déduit
V (K ,3/1) =
V (K ,4/1)
Par substitution, on trouve l’expression de la vitesse de déplacement u 31
u 31
x 1 = 2u 21
x 1 = 2Rω
x 1
En position ouverte, les deux vantaux se trouvent superposés
du même côté du seuil. Lors de la fermeture, la porte 3 avance
par rapport au bâti 1 deux fois plus que la porte 2.
2. L’énergie cinétique du système dans son mouvement par
rapport au bâti 1 s’exprime comme la somme des énergies cinétiques de chacun de ses composants
E((/1) =
i
E(i/1)
Avec les données de l’énoncé, il y a trois termes à évaluer :
• le vantail 2 est en mouvement de translation rectiligne par rapport au bâti ;
E(2/1) =
1
2
Mu
2
21 =
1
2
M(Rω)
2
• le vantail 3 est en mouvement de translation rectiligne par rapport au bâti ;
E(3/1) =
1
2
Mu
2
31 =
1
2
M(2Rω)
2
• la seule variable cinématique du problème est ω que l’on met
en facteur de tous les termes supplémentaires
E ({4,5}/1) =
1
2
J ω
2
On en déduit l’expression de l’énergie cinétique totale
E((/1) =
1
2
J + 5M R
2
J eq
ω
2
On note J eq le moment d’inertie total J + 5M R
2 ramené à
l’arbre moteur, en remarquant que la porte 3 a une influence
quatre fois plus importante que la porte 2.
3. Le bâti 1 est assimilé à un repère galiléen et on exprime le
théorème de l’énergie cinétique appliqué au mouvement /1
d
dt
E((/1) =
i
Pg( ¯
→i) +
k>i
P(k↔i)
On dénombre tout d’abord les termes concernant la puissance
galiléenne des actions mécaniques extérieures à :
• la pesanteur, qui n’intervient pas dans ce problème ;
• les deux liaisons de type glissière avec le bâti, supposées sans
frottement ;
Pg(1 → 2) = 0
Pg(1 → 3) = 0
• l’action du brin 6b sur les poulies.
Pg(1 → 4) = 0
Pg(1 → 5) = 0
On dénombre ensuire les termes concernant la puissance des
interefforts :
• le couple moteur, exercé par le stator 2s sur le rotor 4m ;
Pg(2s↔4r) = C m ω
• la transmission par câble, supposée ne pas dissiper d’énergie.
P(4↔5) = 0
On somme tous ces termes en mettant ω en facteur et on dérive l’énergie cinétique pour arriver à l’expression
J eq ˙
ωω = C m ω
La simplification du terme ω est possible et l’expression finale
du couple moteur est :
C m =
J + 5M R
2
˙
ω
4. Le couple moteur n’est utile que pour la mise en mouvement
des portes.
1. Pour l’étude du mouvement 2/1, le milieu environnant
comprend quatre éléments :
• le bâti 1, par l’intermédiaire de la liaison glissière ;
• la pesanteur p ;
• le ressort r ;
• l’amortisseur a.
Le PFD fournit un système de 6 équations scalaires et on compte
5 inconnues de liaison.
2. La loi du mouvement est obtenue en évitant les cinq inconnues scalaires de la liaison glissière. On s’intéresse donc à l’équation de résultante obtenue par l’application du PFD à 2/1, scalaire z 1
m
A(G,2/1). z 1 =
R( ¯
2 → 2). z 1
(1)
On s’intéresse pour commencer aux quantités d’accélération
et on exprime la résultante dynamique
m
A(G,2/1) = m ¨
y z 1
On s’intéresse ensuite aux actions mécaniques, pour lesquelles
il suffit de modéliser les résultantes des torseurs correspondants,
et on reprend l’inventaire précédent pour cela :
• la pesanteur ;
R( p → 2) = −mg z 1
• le ressort, dont la force de rappel s’exprime en fonction de la
longueur courante l = y − x et la longueur à vide a ;
R(r → 2) = −k(y − x − a) z 1
• l’amortisseur, pour lequel intervient la vitesse relative de la
tige par rapport au corps.
R(a → 2) = −µ
V (P,2/3)
Une composition des vitesses permet de détailler
V (P,2/3)
V (P,2/3) =
V (P,3/1) −
V (P,2/1) = ( ˙
y − ˙
x) z 1
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