On dénombre ensuire les termes concernant la puissance des
interefforts :
• les transmissions par engrenage sont supposées sans frottement ;
P(2↔3) = 0
P(3↔4) = 0
• la transmission par câble est supposée ne pas dissiper d’énergie.
P(4↔5) = 0
On somme tous ces termes en mettant ω 21 en facteur et on dérive l’énergie cinétique pour arriver à l’expression
J eq ˙
ω 21 ω 21 =
C m − Mg R
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
ω 21
La simplification du terme ω 21 est possible et l’expression finale du couple moteur est :
C m = Mg R
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
(a)
+ J eq ˙
ω 21
(b)
4. Le couple moteur est la somme de deux composantes :
• le terme (a) représente le couple moteur nécessaire pour le
maintien de l’équilibre ;
• le terme (b) représente le couple supplémentaire à fournir pour
accélérer le mouvement.
5. Le phénomène de frottement est pris en compte au niveau
de la liaison entre le tambour 4 et le bâti 1 :
• le calcul de l’énergie cinétique n’est pas modifié ;
• pour le calcul de la puissance, seul le terme Pg(1 → 4) est à
reprendre.
Comme on n’est plus dans un cas élémentaire, il est utile de
détailler le calcul à faire à partir de l’expression générale de la
puissance galiléenne de l’action mécanique 1 → 4
Pg(1 → 4) = F(1 → 4) ⊗ V(4/1)
On s’intéresse aux torseurs :
• le torseur cinématique est inchangé ;
V(4/1) = G 4
ω 41
x 1
0
• le torseur des actions mécaniques transmissibles par la liaison évolue. Il comporte maintenant six composantes non nulles
et on caractérise celle qui est due au frottement
F (1 → 4) =
R(1 → 4)
M(G 4 ,1 → 4), avec
M(G 4 ,1 → 4). x 1 = −µω 41
L’expression à prendre en compte pour la puissance est alors
Pg(1 → 4) = −µω
2
41
On en déduit la nouvelle expression issue de l’application du
théorème de l’énergie cinétique
C m =
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
(Mg R + µω 21 )
(a)
+ J eq ˙
ω 21
(b)
L’interprétation des deux termes reste inchangée.
1. Ce mécanisme comporte 5 solides et le graphe des liaisons
est inhabituel.
113
3.2
3
1
2
4
5
G
G
P
P
C
?
?
?
?
P Pivot
G Glissière
C Courroie
En effet, le vantail 3 est accroché au brin de la courroie 6a, et
le bâti 1 au brin 6b. Si on suppose les deux brins tendus et inextensibles, ils se comportent vis à vis des vantaux comme des
câbles. On adopte en conséquence ce modèle.
On paramètre les mouvements des deux portes 2 et 3 par rapport au bâti 1
V(2/1) =
0
u 21
x 1
V(3/1) =
0
u 31
x 1
On paramètre les mouvements des deux poulies 4 et 5 par rapport au châssis 2
V(4/2) = A
ω 42 z 2
0
V(5/2) = B
ω 52 z 2
0
Sur la chaîne fermée 2 – 4 – 5 – 2, les axes de rotation des poulies sont immobiles par rapport au châssis 2 et on a alors la loi
élémentaire
ω 52
ω 42
= 1
Pour la suite de l’exercice, on pose ω 42 = ω.
On regarde maintenant ce qu’il se passe au niveau des points
d’enroulement, sur la poulie 4 par exemple, et on raisonne sur
le mouvement 4/1, issu de la composition de 4/2 et 2/1.
V(A, 4/1)
V (K, 4/ 1)
A
I
K
Figure 3.17 Les vecteurs vitesse
aux points d’enroulement I et K.
Le vecteur vitesse
V (I,4/1) est orienté par le vecteur
x 1
V (I,4/1) =
V (I,4/2) +
V (I,2/1)
= (−Rω + u 21 )
x 1
Le brin 6b de la courroie est accroché au bâti et tendu suivant
x 1 , on en déduit que le point d’enroulement I est immobile dans
le mouvement 4/1
V (I,4/1) =
0
Le vecteur vitesse du point A est connu
V (A,4/1) = u 21
x 1 = Rω
x 1
9782100534197-Mosser-C03.qxd 14/12/09 7:53 Page 113
interefforts :
• les transmissions par engrenage sont supposées sans frottement ;
P(2↔3) = 0
P(3↔4) = 0
• la transmission par câble est supposée ne pas dissiper d’énergie.
P(4↔5) = 0
On somme tous ces termes en mettant ω 21 en facteur et on dérive l’énergie cinétique pour arriver à l’expression
J eq ˙
ω 21 ω 21 =
C m − Mg R
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
ω 21
La simplification du terme ω 21 est possible et l’expression finale du couple moteur est :
C m = Mg R
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
(a)
+ J eq ˙
ω 21
(b)
4. Le couple moteur est la somme de deux composantes :
• le terme (a) représente le couple moteur nécessaire pour le
maintien de l’équilibre ;
• le terme (b) représente le couple supplémentaire à fournir pour
accélérer le mouvement.
5. Le phénomène de frottement est pris en compte au niveau
de la liaison entre le tambour 4 et le bâti 1 :
• le calcul de l’énergie cinétique n’est pas modifié ;
• pour le calcul de la puissance, seul le terme Pg(1 → 4) est à
reprendre.
Comme on n’est plus dans un cas élémentaire, il est utile de
détailler le calcul à faire à partir de l’expression générale de la
puissance galiléenne de l’action mécanique 1 → 4
Pg(1 → 4) = F(1 → 4) ⊗ V(4/1)
On s’intéresse aux torseurs :
• le torseur cinématique est inchangé ;
V(4/1) = G 4
ω 41
x 1
0
• le torseur des actions mécaniques transmissibles par la liaison évolue. Il comporte maintenant six composantes non nulles
et on caractérise celle qui est due au frottement
F (1 → 4) =
R(1 → 4)
M(G 4 ,1 → 4), avec
M(G 4 ,1 → 4). x 1 = −µω 41
L’expression à prendre en compte pour la puissance est alors
Pg(1 → 4) = −µω
2
41
On en déduit la nouvelle expression issue de l’application du
théorème de l’énergie cinétique
C m =
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
(Mg R + µω 21 )
(a)
+ J eq ˙
ω 21
(b)
L’interprétation des deux termes reste inchangée.
1. Ce mécanisme comporte 5 solides et le graphe des liaisons
est inhabituel.
113
3.2
3
1
2
4
5
G
G
P
P
C
?
?
?
?
P Pivot
G Glissière
C Courroie
En effet, le vantail 3 est accroché au brin de la courroie 6a, et
le bâti 1 au brin 6b. Si on suppose les deux brins tendus et inextensibles, ils se comportent vis à vis des vantaux comme des
câbles. On adopte en conséquence ce modèle.
On paramètre les mouvements des deux portes 2 et 3 par rapport au bâti 1
V(2/1) =
0
u 21
x 1
V(3/1) =
0
u 31
x 1
On paramètre les mouvements des deux poulies 4 et 5 par rapport au châssis 2
V(4/2) = A
ω 42 z 2
0
V(5/2) = B
ω 52 z 2
0
Sur la chaîne fermée 2 – 4 – 5 – 2, les axes de rotation des poulies sont immobiles par rapport au châssis 2 et on a alors la loi
élémentaire
ω 52
ω 42
= 1
Pour la suite de l’exercice, on pose ω 42 = ω.
On regarde maintenant ce qu’il se passe au niveau des points
d’enroulement, sur la poulie 4 par exemple, et on raisonne sur
le mouvement 4/1, issu de la composition de 4/2 et 2/1.
V(A, 4/1)
V (K, 4/ 1)
A
I
K
Figure 3.17 Les vecteurs vitesse
aux points d’enroulement I et K.
Le vecteur vitesse
V (I,4/1) est orienté par le vecteur
x 1
V (I,4/1) =
V (I,4/2) +
V (I,2/1)
= (−Rω + u 21 )
x 1
Le brin 6b de la courroie est accroché au bâti et tendu suivant
x 1 , on en déduit que le point d’enroulement I est immobile dans
le mouvement 4/1
V (I,4/1) =
0
Le vecteur vitesse du point A est connu
V (A,4/1) = u 21
x 1 = Rω
x 1
9782100534197-Mosser-C03.qxd 14/12/09 7:53 Page 113