1. Ce mécanisme comporte 5 solides et 6 liaisons et on trace
le graphe des liaisons.
• le tambour 4 est en rotation autour d’un axe immobile dans
le repère 1 ;
E(4/1) =
1
2
J 4 ω
2
41 =
1
2
J 4
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
ω
2
21
• la charge 5 est en mouvement de translation par rapport au
bâti 1.
E(5/1) =
1
2
M v
2
51 =
1
2
M R
2
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
ω
2
21
On en déduit l’expression générale de l’énergie cinétique
E((/1) =
1
2
J 2 + J 3
Z 2
Z 32
2
+ J 4
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
+ M R
2
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
J eq
ω
2
21
Cette expression montre l’intérêt de poser immédiatement J eq
le moment d’inertie équivalent à l’ensemble des pièces mobiles,
ramené à l’arbre moteur. Ce moment ne dépend que de paramètres d’inertie et géométriques. L’énergie cinétique s’exprime
alors simplement
E((/1) =
1
2
J eq ω
2
21
3. Le bâti 1 est assimilé à un repère galiléen et on exprime le
théorème de l’énergie cinétique appliqué au mouvement /1
d
dt
E((/1) =
i
Pg( ¯
→i) +
k>i
P(k↔i)
On dénombre tout d’abord les termes concernant la puissance
galiléenne des actions mécaniques extérieures à :
• les trois liaisons de type pivot avec le bâti, supposées sans frottement ;
Pg(1 → 2) = 0
Pg(1 → 3) = 0
Pg(1 → 4) = 0
• la pesanteur sur chacun des quatre solides :
– les centres de masse G 2 , G 3 et G 4 sont respectivement sur
les axes de rotation des mouvements 2/1, 3/1 et 4/1 ;
Pg( p → 2) = 0
Pg( p → 3) = 0
Pg( p → 4) = 0
– la charge 5 est en mouvement de translation rectiligne suivant
y 1 .
Pg( p → 5) = −Mg v 51
• le couple moteur exercé par le stator sur le rotor.
Pg(m → 2) = C m ω 21
112
Solutions des exercices
Exercices
d’application
1
2
3
4
5
P
P
P
C
P Pivot
Engrenage
C Câble
ε
ε
ε
On reconnaît dans ce graphe deux chaînes fermées de type
« pivot – pivot – engrenage », pour lesquelles on sait trouver
une relation entre les vitesses de rotation au niveau des liaisons
de type pivot.
ω 41
ω 31
= −
Z 34
Z 4
ω 31
ω 21
= −
Z 2
Z 32
On en déduit l’expression du rapport de transmission
ω 41
ω 21
=
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
Pour la chaîne ouverte 4 – 5, on fait l’hypothèse que le mouvement de la charge suspendue par rapport au bâti est une translation suivant
y 1 . On admet alors la relation élémentaire
v 51 = +Rω 41
On obtient en définitive comme loi entrée-sortie
v 51 = +R
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
ω 21
2. On décrit le système comme un ensemble de solides indéformables et l’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques évaluées pour chacun des solides
E((/1) =
5
i=2
E(i/1)
Il y a quatre termes à calculer, pour lesquels on exploite les relations cinématiques précédentes :
• l’arbre moteur 2 est en rotation autour d’un axe immobile dans
le repère 1 ;
E(2/1) =
1
2
J 2 ω
2
21
• l’arbre intermédiaire 3 est en rotation autour d’un axe immobile dans le repère 1 ;
E(3/1) =
1
2
J 3 ω
2
31 =
1
2
J 3
Z 2
Z 32
2
ω
2
21
3.1
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le graphe des liaisons.
• le tambour 4 est en rotation autour d’un axe immobile dans
le repère 1 ;
E(4/1) =
1
2
J 4 ω
2
41 =
1
2
J 4
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
ω
2
21
• la charge 5 est en mouvement de translation par rapport au
bâti 1.
E(5/1) =
1
2
M v
2
51 =
1
2
M R
2
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
ω
2
21
On en déduit l’expression générale de l’énergie cinétique
E((/1) =
1
2
J 2 + J 3
Z 2
Z 32
2
+ J 4
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
+ M R
2
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
2
J eq
ω
2
21
Cette expression montre l’intérêt de poser immédiatement J eq
le moment d’inertie équivalent à l’ensemble des pièces mobiles,
ramené à l’arbre moteur. Ce moment ne dépend que de paramètres d’inertie et géométriques. L’énergie cinétique s’exprime
alors simplement
E((/1) =
1
2
J eq ω
2
21
3. Le bâti 1 est assimilé à un repère galiléen et on exprime le
théorème de l’énergie cinétique appliqué au mouvement /1
d
dt
E((/1) =
i
Pg( ¯
→i) +
k>i
P(k↔i)
On dénombre tout d’abord les termes concernant la puissance
galiléenne des actions mécaniques extérieures à :
• les trois liaisons de type pivot avec le bâti, supposées sans frottement ;
Pg(1 → 2) = 0
Pg(1 → 3) = 0
Pg(1 → 4) = 0
• la pesanteur sur chacun des quatre solides :
– les centres de masse G 2 , G 3 et G 4 sont respectivement sur
les axes de rotation des mouvements 2/1, 3/1 et 4/1 ;
Pg( p → 2) = 0
Pg( p → 3) = 0
Pg( p → 4) = 0
– la charge 5 est en mouvement de translation rectiligne suivant
y 1 .
Pg( p → 5) = −Mg v 51
• le couple moteur exercé par le stator sur le rotor.
Pg(m → 2) = C m ω 21
112
Solutions des exercices
Exercices
d’application
1
2
3
4
5
P
P
P
C
P Pivot
Engrenage
C Câble
ε
ε
ε
On reconnaît dans ce graphe deux chaînes fermées de type
« pivot – pivot – engrenage », pour lesquelles on sait trouver
une relation entre les vitesses de rotation au niveau des liaisons
de type pivot.
ω 41
ω 31
= −
Z 34
Z 4
ω 31
ω 21
= −
Z 2
Z 32
On en déduit l’expression du rapport de transmission
ω 41
ω 21
=
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
Pour la chaîne ouverte 4 – 5, on fait l’hypothèse que le mouvement de la charge suspendue par rapport au bâti est une translation suivant
y 1 . On admet alors la relation élémentaire
v 51 = +Rω 41
On obtient en définitive comme loi entrée-sortie
v 51 = +R
Z 34 Z 2
Z 32 Z 4
ω 21
2. On décrit le système comme un ensemble de solides indéformables et l’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques évaluées pour chacun des solides
E((/1) =
5
i=2
E(i/1)
Il y a quatre termes à calculer, pour lesquels on exploite les relations cinématiques précédentes :
• l’arbre moteur 2 est en rotation autour d’un axe immobile dans
le repère 1 ;
E(2/1) =
1
2
J 2 ω
2
21
• l’arbre intermédiaire 3 est en rotation autour d’un axe immobile dans le repère 1 ;
E(3/1) =
1
2
J 3 ω
2
31 =
1
2
J 3
Z 2
Z 32
2
ω
2
21
3.1
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