Chapitre 3 • Dynamique des solides
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La pesanteur est notée
g = −g
y 0 .
Le contact des roues avec le sol est modélisé par des liaisons ponctuelles avec frottement :
• au point A 3 et de normale
y 0 pour la roue arrière ;
• au point A 4 et de normale
y 0 pour la roue avant.
Les actions mécaniques exercées par le sol sur les roues
sont modélisées par
F(sol → 3) = A 3
R 3
0
F(sol → 4) = A 4
R 4
0
Tous les calculs sont à mener proches de l’équilibre de la
moto : les angles θ 1 et ϕ , ainsi que leurs dérivées, sont supposés petits.
On conserve
−−→
A 3 O 3 =
−−→
A 4 O 4 = R
y 0 , avec R = 29 cm pour
les pneus de la DUCATI MONSTER 620.
La moto est animée d’une part d’un mouvement de translation uniforme de direction
x 0 par rapport à R 0 , et d’autre
part d’un mouvement de rotation d’angle θ 1 autour de
(A 3 , x 0 ). La vitesse de G, proche de l’équilibre, est donc
V (G,1/0) = V
x 0 + (R + h) ˙
θ 1 z 0 .
9. Justifier la forme des trois matrices d’inerties.
Déterminer A 4 et C 4 si on suppose que la roue avant est un
cercle de rayon R et de masse m 4 . Effectuer les applications numériques.
10. Exprimer, à l’ordre 0 au voisinage de l’équilibre,
V (A 3 ,3/0) et
V (A 4 ,4/0) dans la base b 0 . Montrer que
l’expression du roulement sans glissement des roues sur la
route aux points A 3 et A 4 conduit à ˙
θ 3 = ˙
θ 4 = constante .
Préciser la valeur de cette constante.
11. Déterminer, au voisinage de l’équilibre, la projection
sur
x 0 des moments dynamiques
δ(A 3 ,1/0) ,
δ(A 3 ,2/0) ,
y 1
x 1
G
O 3
A 3
A 4
O 4
x 1
x 1
y 1
y 1
y 0
z 2
O 4
O 4
A 4
α
α
Figure 3.15 Paramétrage retenu pour la Ducati Monster 620.
x 0 = x 1
y 0
z 0
y 1
z 1
1
z 1 = z 1
x 1
y 1
x 1
y 1
y 1 = y 2
z 1
x 1
z 2
x 2
z 1 = z 3
x 1
y 1
x 3
y 3
3
z 2 = z 4
x 2
y 2
x 4
y 4
4
θ
θ
θ
α
ϕ
Figure 3.16 Position relative des différentes bases.
R 0 = (O 0 ; ;
x 0 , y 0 , z 0 ) = (O 0 ; b 0 ) est un repère, supposé
galiléen, lié à la route, avec
x 0 dirigé suivant la vitesse
d’avance principale de la moto, et
y 0 suivant la verticale
ascendante.
R 1 = (G; ;
x 1 , y 1 , z 1 ) = (G; b 1 ) est un repère lié à l’ensemble {cadre de la moto + pilote}, de centre de gravité G,
tel que
x 1 = =
x 0 . On pose θ 1 = ( y 0 , y 1 ) = ( z 0 , z 1 ) l’angle
d’inclinaison gauche/droite de la moto.
b
1 = ( x
1 , y
1 , z
1 ) est une base telle que z
1 = = z 1 . On pose
α = ( x 1 , x
1 ) = ( y 1 , y
1 ) l’angle de chasse de la moto. α est
un angle constant positif de valeur 24° sur la DUCATI
MONSTER 620.
b 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) est une base liée à l’ensemble de direction,
telle que
y 2 = =
y
1 . On pose ϕ = ( x
1 , x 2 ) = ( z
1 = = z 2 )
l’angle de rotation du guidon de la moto.
R 3 = (O 3 ; ;
x 3 , y 3 , z 3 ) = (O 3 ; b 3 ) est un repère lié à la roue
arrière, de centre de gravité O 3 , tel que z 3 = = z 1 . On pose
θ 3 = ( x 1 , x 3 ) = ( y 1 , y 3 ) l’angle de rotation de la roue arrière par rapport à la moto.
R 4 = (O 4 ; ;
x 4 , y 4 , z 4 ) = (O 4 ; b 4 ) est un repère lié à la roue
avant, de centre de gravité O 4 , tel que z 4 = = z 2 . On pose
θ 4 = ( x 2 , x 4 ) = ( y 2 , y 4 ) l’angle de rotation de la roue avant
par rapport à l’ensemble de direction.
Les données mécaniques de chaque composant de la moto
sont les suivantes :
Centre de gravité G
Masse m 1
m 1 = 280 kg
I (G,1) =
A 1
−F 1
0
−F 1
B 1
0
0
0
C 1
b 1
Cadre de la moto + pilote
Ensemble de direction
Masse et inertie négligées devant celles du cadre
Centre de gravité O 3
avec
− − →
O 3 G = a 3
x 1 + h
y 1
Masse m 3
a 3 = 60 cm , h = 20 cm
m 3 = 7.5 kg
I (O 3 ,3) =
A 3
0
0
0
A 3
0
0
0
C 3
b 3
Roue arrière
Centre de gravité O 4
avec
− − →
O 4 G = −a 4
x 1 + h
y 1
Masse m 4
a 3 = 84 cm , h = 20 cm
m 3 = 7.5 kg
I (O 4 ,4) =
A 4
0
0
0
A 4
0
0
0
C 4
b 4
Roue avant
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La pesanteur est notée
g = −g
y 0 .
Le contact des roues avec le sol est modélisé par des liaisons ponctuelles avec frottement :
• au point A 3 et de normale
y 0 pour la roue arrière ;
• au point A 4 et de normale
y 0 pour la roue avant.
Les actions mécaniques exercées par le sol sur les roues
sont modélisées par
F(sol → 3) = A 3
R 3
0
F(sol → 4) = A 4
R 4
0
Tous les calculs sont à mener proches de l’équilibre de la
moto : les angles θ 1 et ϕ , ainsi que leurs dérivées, sont supposés petits.
On conserve
−−→
A 3 O 3 =
−−→
A 4 O 4 = R
y 0 , avec R = 29 cm pour
les pneus de la DUCATI MONSTER 620.
La moto est animée d’une part d’un mouvement de translation uniforme de direction
x 0 par rapport à R 0 , et d’autre
part d’un mouvement de rotation d’angle θ 1 autour de
(A 3 , x 0 ). La vitesse de G, proche de l’équilibre, est donc
V (G,1/0) = V
x 0 + (R + h) ˙
θ 1 z 0 .
9. Justifier la forme des trois matrices d’inerties.
Déterminer A 4 et C 4 si on suppose que la roue avant est un
cercle de rayon R et de masse m 4 . Effectuer les applications numériques.
10. Exprimer, à l’ordre 0 au voisinage de l’équilibre,
V (A 3 ,3/0) et
V (A 4 ,4/0) dans la base b 0 . Montrer que
l’expression du roulement sans glissement des roues sur la
route aux points A 3 et A 4 conduit à ˙
θ 3 = ˙
θ 4 = constante .
Préciser la valeur de cette constante.
11. Déterminer, au voisinage de l’équilibre, la projection
sur
x 0 des moments dynamiques
δ(A 3 ,1/0) ,
δ(A 3 ,2/0) ,
y 1
x 1
G
O 3
A 3
A 4
O 4
x 1
x 1
y 1
y 1
y 0
z 2
O 4
O 4
A 4
α
α
Figure 3.15 Paramétrage retenu pour la Ducati Monster 620.
x 0 = x 1
y 0
z 0
y 1
z 1
1
z 1 = z 1
x 1
y 1
x 1
y 1
y 1 = y 2
z 1
x 1
z 2
x 2
z 1 = z 3
x 1
y 1
x 3
y 3
3
z 2 = z 4
x 2
y 2
x 4
y 4
4
θ
θ
θ
α
ϕ
Figure 3.16 Position relative des différentes bases.
R 0 = (O 0 ; ;
x 0 , y 0 , z 0 ) = (O 0 ; b 0 ) est un repère, supposé
galiléen, lié à la route, avec
x 0 dirigé suivant la vitesse
d’avance principale de la moto, et
y 0 suivant la verticale
ascendante.
R 1 = (G; ;
x 1 , y 1 , z 1 ) = (G; b 1 ) est un repère lié à l’ensemble {cadre de la moto + pilote}, de centre de gravité G,
tel que
x 1 = =
x 0 . On pose θ 1 = ( y 0 , y 1 ) = ( z 0 , z 1 ) l’angle
d’inclinaison gauche/droite de la moto.
b
1 = ( x
1 , y
1 , z
1 ) est une base telle que z
1 = = z 1 . On pose
α = ( x 1 , x
1 ) = ( y 1 , y
1 ) l’angle de chasse de la moto. α est
un angle constant positif de valeur 24° sur la DUCATI
MONSTER 620.
b 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) est une base liée à l’ensemble de direction,
telle que
y 2 = =
y
1 . On pose ϕ = ( x
1 , x 2 ) = ( z
1 = = z 2 )
l’angle de rotation du guidon de la moto.
R 3 = (O 3 ; ;
x 3 , y 3 , z 3 ) = (O 3 ; b 3 ) est un repère lié à la roue
arrière, de centre de gravité O 3 , tel que z 3 = = z 1 . On pose
θ 3 = ( x 1 , x 3 ) = ( y 1 , y 3 ) l’angle de rotation de la roue arrière par rapport à la moto.
R 4 = (O 4 ; ;
x 4 , y 4 , z 4 ) = (O 4 ; b 4 ) est un repère lié à la roue
avant, de centre de gravité O 4 , tel que z 4 = = z 2 . On pose
θ 4 = ( x 2 , x 4 ) = ( y 2 , y 4 ) l’angle de rotation de la roue avant
par rapport à l’ensemble de direction.
Les données mécaniques de chaque composant de la moto
sont les suivantes :
Centre de gravité G
Masse m 1
m 1 = 280 kg
I (G,1) =
A 1
−F 1
0
−F 1
B 1
0
0
0
C 1
b 1
Cadre de la moto + pilote
Ensemble de direction
Masse et inertie négligées devant celles du cadre
Centre de gravité O 3
avec
− − →
O 3 G = a 3
x 1 + h
y 1
Masse m 3
a 3 = 60 cm , h = 20 cm
m 3 = 7.5 kg
I (O 3 ,3) =
A 3
0
0
0
A 3
0
0
0
C 3
b 3
Roue arrière
Centre de gravité O 4
avec
− − →
O 4 G = −a 4
x 1 + h
y 1
Masse m 4
a 3 = 84 cm , h = 20 cm
m 3 = 7.5 kg
I (O 4 ,4) =
A 4
0
0
0
A 4
0
0
0
C 4
b 4
Roue avant
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