Exercices d’approfondissement
107
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7. À l’aide de ces hypothèses, simplifier les composantes
dans la base 2 de
δ(K ,,/0) et en déduire la valeur de
x 2 .
δ(K ,,/0).
8. Déterminer la composante suivant
x 2 du moment en K
des actions mécaniques extérieures appliquées au système
, à savoir
x 2 .
M(K , ¯
→ ) .
9. En déduire la relation entrée-sortie du gyromètre en
régime permanent.
10. Pour ˙
ϕ = 6200 tr/min, k = 17 N/m et h = 12 mm,
déterminer la vitesse maximale mesurable par ce gyromètre.
La valeur trouvée justifie-t-elle les hypothèses faites sur θ
et ˙
ψ ?
Exercices d’approfondissement
3.6 Télécabine. (D’après Mines-Ponts MP-PSI 03)
Une télécabine est un système de transport de personnes
permettant un changement d’altitude important dans une
zone d’accès difficile, généralement en montagne.
Le système présenté ci-dessous reprend les caractéristiques d’un modèle alpin.
• la pente est caractérisée par un angle α = 30° ;
• les poulies sont de rayon R = 4 m ;
• le contact des poulies avec le câble est sans raideur en
flexion et sans glissement ;
• les contacts d’une poulie avec le sol sont modélisés par
une liaison de type pivot sans frottement.
Inventaire des masses en mouvement
• La masse d’une cabine vide est notée m c = 1 800 kg ;
• la masse des passagers d’une cabine est notée
m p = 2 400 kg ;
• la masse linéique du câble vaut µ = 20 kg m −1 ;
• la masse des deux poulies est négligée.
Données complémentaires
• Au sol est associé un référentiel supposé galiléen ;
• la pesanteur est caractérisée par
g = −g
y 0 avec
g = 10 m s −2 ;
• la poulie motrice est soumise par un motoréducteur à un
couple noté C m ;
• le coefficient de frottement au niveau du contact entre
câble et pylône est noté f = 0.025.
On cherche à évaluer la puissance motrice maximale
nécessaire lors d’un redémarrage en charge de cette installation. La cinématique souhaitée est caractérisée par une
accélération constante permettant d’atteindre une vitesse
V 0 = 6 ms −1 en 5 secondes.
1. Comparer la masse de câble enroulée sur une des poulies et la masse d’un des deux brins tendus entre les poulies.
2. Déterminer l’accélération moyenne des cabines lors
d’un redémarrage.
On appelle le système matériel constitué de l’ensemble
des pièces en mouvement par rapport au sol.
3. Exprimer l’énergie cinétique galiléenne du système
ainsi défini.
4. Exprimer la puissance galiléenne des efforts de pesanteur sur le système .
5. Exprimer la puissance galiléenne des efforts de contact
entre pylônes et câbles sur le système .
6. Exprimer la puissance développée par l’action motrice
sur .
Le système matériel considéré comporte :
• un câble à la fois porteur et tracteur ;
• deux poulies, dont une est motorisée ;
• des cabines montantes, au nombre de n c = 10, supposées
remplies de passagers ;
• des cabines descendantes, supposées vides, au nombre de
n c = 10 également.
Description géométrique, cinématique et hypothèses
simplificatrices
• Les deux brins de câble entre les deux poulies sont supposés rectilignes et de longueur L = 1200 m ;
• l’ensemble des cabines montantes et du brin de câble correspondant est assimilé à un solide en appuis ponctuels
avec frottements sur n p = 12 pylônes intermédiaires ;
• on fait la même hypothèse pour l’ensemble des cabines
descendantes et du brin de câble correspondant ;
câbles et cabines
y 0
x 0
x
y
pylône
α
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7. À l’aide de ces hypothèses, simplifier les composantes
dans la base 2 de
δ(K ,,/0) et en déduire la valeur de
x 2 .
δ(K ,,/0).
8. Déterminer la composante suivant
x 2 du moment en K
des actions mécaniques extérieures appliquées au système
, à savoir
x 2 .
M(K , ¯
→ ) .
9. En déduire la relation entrée-sortie du gyromètre en
régime permanent.
10. Pour ˙
ϕ = 6200 tr/min, k = 17 N/m et h = 12 mm,
déterminer la vitesse maximale mesurable par ce gyromètre.
La valeur trouvée justifie-t-elle les hypothèses faites sur θ
et ˙
ψ ?
Exercices d’approfondissement
3.6 Télécabine. (D’après Mines-Ponts MP-PSI 03)
Une télécabine est un système de transport de personnes
permettant un changement d’altitude important dans une
zone d’accès difficile, généralement en montagne.
Le système présenté ci-dessous reprend les caractéristiques d’un modèle alpin.
• la pente est caractérisée par un angle α = 30° ;
• les poulies sont de rayon R = 4 m ;
• le contact des poulies avec le câble est sans raideur en
flexion et sans glissement ;
• les contacts d’une poulie avec le sol sont modélisés par
une liaison de type pivot sans frottement.
Inventaire des masses en mouvement
• La masse d’une cabine vide est notée m c = 1 800 kg ;
• la masse des passagers d’une cabine est notée
m p = 2 400 kg ;
• la masse linéique du câble vaut µ = 20 kg m −1 ;
• la masse des deux poulies est négligée.
Données complémentaires
• Au sol est associé un référentiel supposé galiléen ;
• la pesanteur est caractérisée par
g = −g
y 0 avec
g = 10 m s −2 ;
• la poulie motrice est soumise par un motoréducteur à un
couple noté C m ;
• le coefficient de frottement au niveau du contact entre
câble et pylône est noté f = 0.025.
On cherche à évaluer la puissance motrice maximale
nécessaire lors d’un redémarrage en charge de cette installation. La cinématique souhaitée est caractérisée par une
accélération constante permettant d’atteindre une vitesse
V 0 = 6 ms −1 en 5 secondes.
1. Comparer la masse de câble enroulée sur une des poulies et la masse d’un des deux brins tendus entre les poulies.
2. Déterminer l’accélération moyenne des cabines lors
d’un redémarrage.
On appelle le système matériel constitué de l’ensemble
des pièces en mouvement par rapport au sol.
3. Exprimer l’énergie cinétique galiléenne du système
ainsi défini.
4. Exprimer la puissance galiléenne des efforts de pesanteur sur le système .
5. Exprimer la puissance galiléenne des efforts de contact
entre pylônes et câbles sur le système .
6. Exprimer la puissance développée par l’action motrice
sur .
Le système matériel considéré comporte :
• un câble à la fois porteur et tracteur ;
• deux poulies, dont une est motorisée ;
• des cabines montantes, au nombre de n c = 10, supposées
remplies de passagers ;
• des cabines descendantes, supposées vides, au nombre de
n c = 10 également.
Description géométrique, cinématique et hypothèses
simplificatrices
• Les deux brins de câble entre les deux poulies sont supposés rectilignes et de longueur L = 1200 m ;
• l’ensemble des cabines montantes et du brin de câble correspondant est assimilé à un solide en appuis ponctuels
avec frottements sur n p = 12 pylônes intermédiaires ;
• on fait la même hypothèse pour l’ensemble des cabines
descendantes et du brin de câble correspondant ;
câbles et cabines
y 0
x 0
x
y
pylône
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