Chapitre 3 • Dynamique des solides
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On s’intéresse maintenant au cas où le fil fait un angle α
avec le plan horizontal.
8. Proposer un nouveau schéma du dispositif, toujours
dans le plan (A, x 1 , y 1 ).
9. Montrer qu’il existe une valeur de l’angle α pour laquelle
on peut faire glisser la bobine sur le support sans
qu’elle ne tourne.
3.5 Gyromètre mécanique à toupie
Le système schématisé sur les deux figures ci-dessous est
un gyromètre, également appelé capteur de vitesse angulaire. C’est un instrument capable de mesurer la vitesse
angulaire autour d’un axe. Cet axe est matérialisé ici par
une articulation artificiellement ajoutée entre le support 1
et le référentiel supposé galiléen 0.
• La pièce intermédiaire 2 est en liaison pivot d’axe (K , x 1 )
avec le support 1 du gyromètre par l’intermédiaire de
roulements à billes. Elle est rappelée dans sa position
d’équilibre par deux ressorts identiques 4 de raideur k.
On lui associe un repère (K , x 2 , y 2 , z 2 ) tel que
x 2 = =
x 1 et
on pose
− →
AB = h z 2 .
L’angle d’inclinaison de la pièce 2 autour de l’axe
(K , x 1 ) est noté θ et constitue la grandeur de sortie de la
partie mécanique du gyromètre. Il est limité par une
butée mécanique à +/ − 9°.
• La toupie notée 3 est constituée d’un arbre de masse m,
de longueur 2L et de dimensions transversales négligeables, aux extrémités duquel sont montés deux disques
en laiton de masse M , de diamètre D et d’épaisseur
négligeable. On lui associe le repère (K ,
x 3 ,
y 3 ,
z 3 ) et on
pose
−→
K C = −L
y 3 . La toupie est entraînée en rotation
autour de son axe de révolution (K ,
y 3 ) par un moteur à
courant continu, à une vitesse angulaire uniforme élevée :
˙
ϕ =
dϕ
dt
= constante
Hypothèses
• Le référentiel 0 est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère (K , x 0 , y 0 , z 0 ).
• On néglige masse et inertie de l’axe intermédiaire 2
devant ceux de la toupie 3.
Questions
1. Illustrer le paramétrage angulaire donné à l’aide de
schémas plans.
2. Établir le graphe des liaisons et caractériser les torseurs
cinématiques des mouvements possibles.
3. Caractériser les torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons supposées parfaites.
4. Pour trouver la loi entrée-sortie recherchée, justifier le
choix de l’équation de moment dynamique en K scalaire
x 2 , issue du PFD appliqué au système = {2,3} dans son
mouvement par rapport au référentiel supposé galiléen 0.
5. Justifier la forme proposée ci-dessous pour la matrice
d’inertie de la toupie 3 calculée au point K :
I (K ,3) =
I K x
0
0
0
I K y
0
0
0
I K x
( x 2 , y 2 , z 2 )
Déterminer les moments d’inertie I K x et I K y en fonction
de m, M , D et L.
Applications numériques : m = 1.5 g ; M = 21 g ;
D = 50 mm ; L = 20 mm.
6. Exprimer dans la base 2 le moment dynamique
δ(K ,,/0) en fonction de I K x , I K y , des angles ψ, θ, ϕ et
de leurs dérivées successives.
Pour toute la suite du problème, on considère les hypothèses supplémentaires suivantes :
• la vitesse de rotation ˙
ψ est toujours très petite devant ˙
ϕ ;
• l’angle θ reste petit au cours du temps.
0
1
4
3
2
x 0
z 1
x 1
x 1 = x 2
y 1
y 2
z 2
z 2
z 3
K
A
B
C
θ
θ
ψ
ϕ
Le schéma-bloc suivant distingue les parties mécanique et
électronique du gyromètre et présente les grandeurs physiques d’entrée et de sortie :
Partie
mécanique
Partie
électronique
U
Objet de l’étude
θ
ψ
.
Description de la partie mécanique
• Au support 1 du gyromètre est associé le repère
(K , x 1 , y 1 , z 1 ) et on pose
−→
K A = R
x 1 .
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On s’intéresse maintenant au cas où le fil fait un angle α
avec le plan horizontal.
8. Proposer un nouveau schéma du dispositif, toujours
dans le plan (A, x 1 , y 1 ).
9. Montrer qu’il existe une valeur de l’angle α pour laquelle
on peut faire glisser la bobine sur le support sans
qu’elle ne tourne.
3.5 Gyromètre mécanique à toupie
Le système schématisé sur les deux figures ci-dessous est
un gyromètre, également appelé capteur de vitesse angulaire. C’est un instrument capable de mesurer la vitesse
angulaire autour d’un axe. Cet axe est matérialisé ici par
une articulation artificiellement ajoutée entre le support 1
et le référentiel supposé galiléen 0.
• La pièce intermédiaire 2 est en liaison pivot d’axe (K , x 1 )
avec le support 1 du gyromètre par l’intermédiaire de
roulements à billes. Elle est rappelée dans sa position
d’équilibre par deux ressorts identiques 4 de raideur k.
On lui associe un repère (K , x 2 , y 2 , z 2 ) tel que
x 2 = =
x 1 et
on pose
− →
AB = h z 2 .
L’angle d’inclinaison de la pièce 2 autour de l’axe
(K , x 1 ) est noté θ et constitue la grandeur de sortie de la
partie mécanique du gyromètre. Il est limité par une
butée mécanique à +/ − 9°.
• La toupie notée 3 est constituée d’un arbre de masse m,
de longueur 2L et de dimensions transversales négligeables, aux extrémités duquel sont montés deux disques
en laiton de masse M , de diamètre D et d’épaisseur
négligeable. On lui associe le repère (K ,
x 3 ,
y 3 ,
z 3 ) et on
pose
−→
K C = −L
y 3 . La toupie est entraînée en rotation
autour de son axe de révolution (K ,
y 3 ) par un moteur à
courant continu, à une vitesse angulaire uniforme élevée :
˙
ϕ =
dϕ
dt
= constante
Hypothèses
• Le référentiel 0 est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère (K , x 0 , y 0 , z 0 ).
• On néglige masse et inertie de l’axe intermédiaire 2
devant ceux de la toupie 3.
Questions
1. Illustrer le paramétrage angulaire donné à l’aide de
schémas plans.
2. Établir le graphe des liaisons et caractériser les torseurs
cinématiques des mouvements possibles.
3. Caractériser les torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons supposées parfaites.
4. Pour trouver la loi entrée-sortie recherchée, justifier le
choix de l’équation de moment dynamique en K scalaire
x 2 , issue du PFD appliqué au système = {2,3} dans son
mouvement par rapport au référentiel supposé galiléen 0.
5. Justifier la forme proposée ci-dessous pour la matrice
d’inertie de la toupie 3 calculée au point K :
I (K ,3) =
I K x
0
0
0
I K y
0
0
0
I K x
( x 2 , y 2 , z 2 )
Déterminer les moments d’inertie I K x et I K y en fonction
de m, M , D et L.
Applications numériques : m = 1.5 g ; M = 21 g ;
D = 50 mm ; L = 20 mm.
6. Exprimer dans la base 2 le moment dynamique
δ(K ,,/0) en fonction de I K x , I K y , des angles ψ, θ, ϕ et
de leurs dérivées successives.
Pour toute la suite du problème, on considère les hypothèses supplémentaires suivantes :
• la vitesse de rotation ˙
ψ est toujours très petite devant ˙
ϕ ;
• l’angle θ reste petit au cours du temps.
0
1
4
3
2
x 0
z 1
x 1
x 1 = x 2
y 1
y 2
z 2
z 2
z 3
K
A
B
C
θ
θ
ψ
ϕ
Le schéma-bloc suivant distingue les parties mécanique et
électronique du gyromètre et présente les grandeurs physiques d’entrée et de sortie :
Partie
mécanique
Partie
électronique
U
Objet de l’étude
θ
ψ
.
Description de la partie mécanique
• Au support 1 du gyromètre est associé le repère
(K , x 1 , y 1 , z 1 ) et on pose
−→
K A = R
x 1 .
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